Calcul de matrice

[mamaths]

Bonjour à tous,

Pourriez-vous s'il vous plait me definir les grands axes de cet exo? par quelle méthode dois-je passer? et si vous avez le courage, vous pouvez me donner le resultat afin que je puisse comparer :)

On considère une application linéaire f de matrice :

A= 9 –6 10
-5 2 -5
-12 6 -13
par rapport à la base canonique R^3

a) Montrer que les vecteurs u1=(2, -1, 2), u2=(1,0,-1), u3=(-2,1,3)
forment une base B={u1,u2,u3} de R^3

b) Calculer les matrices de passage de la base canonique à la base B
et la matrice de passage de la base B à la base canonique.

c) Calculer la matrice f dans la base B.

Merci à tous,
Mamaths

[Joker62]

une famille est une base si et seulement si, c'est une famille libre et génératrice.
Ici, on bosse dans R^3, donc de dimension 3, suffit de vérifier que c'est une famille libre.

au + bv + cw = 0 => a = b = c = 0

2) La matrice de passage est composée des vecteurs colonnes des vecteurs de la nouvelle base, exprimée dans l'ancienne, c'est rien qu'une définition à appliquer

3) Mat(f, B)

Quel est l'image par f des vecteurs de la base B ?

[mamaths]

re bonjour!

alors je donne mes résultats, si qqn veut bien vérifier svp :)

a) det=1 comme 1 différent de 0 : les vecteurs u1,u2 et u3 forment une base de R^3

b)P est égal à u1, u2, u3 en colonne
P*=P*t=
1 -1 1
-1 2 0
1 0 1

det P=1

d'ou P^-1=
1 -1 1
-1 2 0
1 0 1

c)A'=
-2 0 1
-8 1 -12
0 0 -3

Merci a tous
Mamaths

[Joker62]

a) au1 + bu2 + cu3 = 0 donne un système de 3 équations à 3 inconnues.
En le résolvant on trouve a = b = c = 0
Pourquoi tu passes par le déterminant ???
determinant de quoi = 1 ???
Enfin bref, c'est bizarre

b) pour la matrice de passage de Bc à B, c'était en effet pas compliqué.
Pour la matrice de passage de B à Bc, c'est l'inverse de celle trouver avant
Je ne vois toujours pas d'où sort ce det = 1 et quelle méthode te permet de trouver si facilement l'inverse de P(Bc,B)

Tu peux la trouver en faisant un système :
Bc = (e1,e2,e3), la base canonique,
B = (u1,u2,u3), la nouvelle base,

e1 = au1 + bu 2+ cu3
Tu résouds, tu trouves a = c = 1/5 et b = 1
Tu continues pour le reste.

c)ça ne peut être que faux, vu que t'as faux aux matrices de passages.

[mamaths]

j'ai calculer le determinant de B et il vaut 1
par la formule :
det(B)=aei-ceg-afh-bdi+bfg+cdh
en considérant la matrice suivante:
a b c
d e f
g h i

voila comment je trouve le determinant "directement"

Je passe par le déterminant car il me semblait qu'il y avait une propriété qui disait que si le déterminant était different de 0 alors on était en présence d'une base!

[Joker62]

et c'est quoi B ?
Mise à part une base, j'vois pas ce que c'est.

[mamaths]

B c'est la matrice formé des 3 vecteurs u1, u2 et u3 en colonne, ou c'est P si tu preferes


Pour la matrice P^-1, j'applique la formule : [1/det(P)]* P*t

[Joker62]

Je préfère oui, mais moi j'trouve pas 1.

[mamaths]

ha c'est embettant, je récidive en disant que c'est bien 1:

en appliquant ma formule je trouve:
2*0*3 - (-2)*0*(-2) - 2*1*(-1) - 1*(-1)*3 + 1*1*(-2) + (-2)*(-1)*(-1)
=0 - 0 - (-2) - (-3) + (-2) + (-2)
= 2+3-2-2
=0+3-2
=1

oui?

[Joker62]

Non moi j'ai 5 :)

[mamaths]

explique-moi comment tu fais stp sinon on est pas arrivé...

[Joker62]

P =
.2...1...-2
-1...0...1
.2..-1...3

det P = 2*0*3 + 1*1*2 + (-2)*(-1)*(-1) - 2*0*(-2) - 2*(-1)*1 - 3*(-1)*1
= 0 + 2 -2 - 0 + 2 + 3 = 5

[mamaths]

bon je vais passer par une autre méthode:

P=
2 1 -2
-1 0 1
2 -1 3

-1* [det -1 1] -1* [det 2 -2]
.............-2 3.............-1 1

ce qui donne : -1*(-3+2)-1*(2-2)=1

oui?

[Joker62]

non
En développant par rapport à première ligne deuxième colonne, je trouve



Le deuxième déterminant valant 0 étant donné la proportionnalité entre les lignes, je trouve que le premier vaut -5, avec le -1 devant, je retrouve 5

[mamaths]

je viens de voir que l'on a un P différent en fait:
moi jai P=
2 1 -2
-1 0 1
-2 -1 1

et toi ton P=
2 1 -2
-1 0 1
2 -1 1

[Joker62]

u1=(2, -1, 2), u2=(1,0,-1), u3=(-2,1,3)

Moi je prend le P que tu m'as donné tu sais

première ligne de P 2 1 -2
deuxième ligne de P -1 0 1
troisième ligne de P 2 -1 3

Donc bon...

[mamaths]

ok l'embrouille est de ma faute, je me suis trompée dans l'énoncé, je suis vraiment désolée. :briques:

donc on a:
u1=(2, -1, -2), u2=(1,0,-1), u3=(-2,1,3)

donc j'ai juste ? :id:

[Joker62]

Tout ça pour ça
Dans ce cas là, le déterminant vaut bien 1

Et pour l'inverse, en utilisant 1/detP * t^Com(P) on trouve presque ce que tu as donné.
Il y a une erreur de signe sur la colonne 1, deuxième ligne, c'est un 1.

Pour vérifier, j'te donne l'adresse d'un outil puissant
[url="http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?session=QV6A28FB42.2&+lang=fr&+module=tool%2Flinear%2Fmatrix.fr"]http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?session=QV6A28FB42.2&+lang=fr&+module=tool%2Flinear%2Fmatrix.fr[/url]

Edit : tu m'as usé lol

[mamaths]

mdr pour ta fatigue!!

merci pour tout et surtout d'avoir persisté malgré mes betises!

et merci aussi pour la calculatrice de matrices en ligne c'est génial pour vérifier :)

Bonne soirée
Repose toi bien mdr
aud-