Les ensembles

[Garzak]

Bonjour,
Voilà je suis bloqué sur un exercice je ne sais pas comment prendre le probleme:

Soit E un ensemble, A et B deux parties de E et f : P(E) -> P(A) x P(B) l'application définie par f(X) = (A inter X , B inter X).

Montrer que f est surjective si et seulement si A inter B = 0.


Voilà si quelqu'un a une idée ça me serait d'une grande aide.

PS: Désolé pour les "inter", je ne sais pas comment insérer à mon texte des caractères spéciaux.

[aviateurpilot]

surjective
=>
=>
=>



=>
=>

[Garzak]

Merci.
J'ai cependant quelques problemes à lire certains symboles.

Quelle est la signification littérale du symbole ressemblant à un "C" svp?

[legeniedesalpages]

Bonjour Garzak et AviateurPilot,

signifie que "A est inclus dans B",
on a aussi qui veut dire que "B contient A".

[Garzak]

Merci beaucoup.

Je dois à présent démontrer que f est injective si et seulement si A U B = E.



On sait que f : P(E) -> P(A) x P(B).
Il s'agirait donc de démontrer que pour tout x de E, f(x) admet une seule solution y tel que y appartient à E...

Dis-je des choses totalement stupides?
Mes questions semblent peut-etre basiques mais je dois avouer être totalement largué sur cet exercice :cry:

[Joker62]

f injective si et seulement si AUB = E


=>
quelle est l'image de f(E) et de f(AUB) ?

[Garzak]

f injective si et seulement si AUB = E


=>
quelle est l'image de f(E) et de f(AUB) ?

Je dois donc démontrer que f(AUB) = f (E)

Effectivement ça me semble plus logique, même si je ne vois absolument pas comment retranscrire ça en language mathématique avec les données que j'ai :hum:

Merci

[Joker62]

En supposant f injective, on sait que deux élements ayant la même image sont identiques
On veut montrer que AUB = E avec f injective, l'idée semble naturelle de calculer f(AUB) et f(E)

((AUB) Inter A , (AUB) Inter B) = (A , B) car A est contenu dans AUB et B contenu dans AUB

Que vaut
(E Inter A, E Inter B) en sachant que A contenu dans E et B Contenu dans E ?

[Garzak]

En supposant f injective, on sait que deux élements ayant la même image sont identiques
On veut montrer que AUB = E avec f injective, l'idée semble naturelle de calculer f(AUB) et f(E)

((AUB) Inter A , (AUB) Inter B) = (A , B) car A est contenu dans AUB et B contenu dans AUB

Que vaut
(E Inter A, E Inter B) en sachant que A contenu dans E et B Contenu dans E ?

(E inter A, E inter B) = (A , B) car A est contenu dans E et B est contenu dans E.

C'est ça? :we:

[Joker62]

Yeap :)

Donc, f(AUB) = f(E) or f injective, donc ?

[Garzak]

Yeap

Donc, f(AUB) = f(E) or f injective, donc ?

Donc AUB = E ?

[Joker62]

Pourquoi un point d'interrogation à la fin ?
T'es pas sûr ?

[Garzak]

Si mais je ne sais pas si c'est la réponse que tu attendais, ça me semblait tellement logique en fait que je pensais avoir mal compris.

((AUB) inter A) = (E Inter A), il me semble normal que E = AUB.

Enfin voilà je doutais juste d'avoir bien compris la question ^^

[Joker62]

Euh, t'as pas du comprendre.

C'est parce que f(AUB) = f(E) et f injective que AUB = E.

Bon maintenant, il reste l'autre sens :)
En supposant AUB = E, montrons que f est injective.
Prendre donc, deux parties de E tel que f(X) = f(X')
Montrons que X = X'

[Garzak]

Euh, t'as pas du comprendre.

C'est parce que f(AUB) = f(E) et f injective que AUB = E.

Bon maintenant, il reste l'autre sens
En supposant AUB = E, montrons que f est injective.
Prendre donc, deux parties de E tel que f(X) = f(X')
Montrons que X = X'

je cherche...

[Garzak]

Dans l'énoncé on a f(X) = (A inter X , B inter X).
Donc f(X') = (A inter X', B inter X').

On sait que AUB = E.

f(X')= ((AUB) inter X', (AUB inter X'))
= (E inter X'), (E inter X')


RAAAAAAH j'ai l'impression que je fais nimporte quoi je comprend rien :marteau:

[Joker62]

Soit X, X' deux parties de E tq f(X) = f(X')

f(X) = f(X') => (A inter X, B inter X) = (A inter X', B inter X')

=> A inter X = A inter X' et B inter X = B inter X'
=> (A inter X) U (B inter X) = (A Inter X') U (B inter X')
=> (AUB) Inter X = (AUB) Inter X'
=> E Inter X = E Inter X'
=> X = X' car X Contenu dans E et X' contenu dans E

[color=Black]la solution est en blanc
lis ligne par ligne
essai de continuer à chaque fois
Si t'arrives pas, dévoiles tout
[/color]

[Garzak]

Assez difficile, je n'ai pas encore la mécanique de ce genre de raisonement...

merci pour ton aide, j'arrive maintenant à comprendre.

J'ai esseyé de faire la question suivante, voilà ce à quoi j'arrive:

"Dans le cas où f est bijective, exprimer f^-1"
Première difficulté: je ne comprend pas l'anotation f exposant -1, je vais suposer qu'il s'agit de l'inverse de f. (cad f(x)=y, f-1(y)=x)

f Surjective: A inter B = 0
f Injective: AUB=E

f(X)=( A inter X, B inter X)
f^-1 (A inter X, B inter X) = X

Je pars encore droit dans le mur?

[Joker62]

Ici je fais ma recherche :
//
f^-1(f(X)) = X

f^-1(A Inter X , B Inter X) = X = A Inter X U B Inter X
//

Ici j'ai trouver un truc peut-être valable je vérifie :)

On pose alors f^-1 : P(A) x P(B) -> P(E)
tel que f^-1(X,Y) = X U Y

Vérifions que f^-1 o f = Id et f o f^-1 = Id

1° f^-1 ( f(X)) = f^-1(A Inter X, B Inter X) = A Inter X U B Inter X = (AUB) Inter X = X

2° f(f^-1(X,Y)) = f(X U Y) = (A Inter (X U Y), B Inter (X U Y)) = (A Inter X U A Inter Y , B Inter X U B Inter Y) = (A inter X, B Inter Y) = (X,Y)

dans 1° j'ai utilisé le fait que A U B = E
dans 2° j'ai utilisé le fait que A Inter B = vide et que X C A, Y C B

[Garzak]

Merci Joker62, j'aime la façon dont tu expliques :)