Ploynome caracteristique Le Verrier

[mamaths]

Bonjour!

Pourriez-vous s'il vous plait me donner les grands axes à suivre, ou tout simplement me définir les questions d'une manière plus simple ?

Calcul du polynôme caractéristique d'une matrice par la méthode Le Verrier:
Soit

A= 2 –1 1
1 0 -1
2 -4 -1

Soit p(u)=u^3 + a*u^2 + b*u + c le polynome caractéristique de A
et u1,u2,u3 les valeurs propres de A.

Pour k=1,2,3 on pose :
p (indice k)=u^k (indice 1)+ u^k (indice 2)+ u^k (indice 3)

a) Calculer A^2 et A^3
b) Exprimer a,b,c en fonction des valeurs propres de A sans les calculer.
c) Montrer que : a=-p1, b=0,5*(p1 ^2 - p2) et que p3=p2 - bp1 - 3c
d) En déduire le polynome caractéristique de A
(rappel: la trace de 2 matrices semblables est la même)
e) En déduire A^-1

Merci à tous
Mamaths

[mamaths]

j'ai trouvé A^2 :
5 -6 2
0 4 2
-2 2 8

et A^3:
8 -13 9
8 -8 -6
14 -30 -8

Après je bloque pour les questions suivantes :s

Merci pour votre aide
Mamaths

[Joker62]

Faut-il peut-être te rappeler que les valeurs propres annulent le polynôme caractéristique ???

[mamaths]

oui tu peux le rappeler merci

[Joker62]

Donc je te le rapelle :)

[mamaths]

ok donc pour la question b) la réponse est que a=u1, b=u2 et c=u3

pour la c) est-ce possible de m'expliquer le rapport entre le fonction pk et p(u) ?

merci
Mamaths

[mamaths]

Pour la question 1 j'ai dis que: par la definition de Calay-Hamilton, les valeurs propres de A annulent le polynome caractéristique.
j'en ai conclue que a=u1, b=u2 et c=u3

Pour la question 2: j'ai donc calculé A-uID et on trouve le polynome caractéristique: -X^3+X²+7X-11
j'en ai déduis que: a=-1, b=-7 et c=11

d'après l'énoncé: p (indice k)=u^k (indice 1)+ u^k (indice 2)+ u^k (indice 3)
on trouve que p1=u1+u2+u3
d'après mes conclusions précédentes, p1=-1-7+11=3
or d'après la question j'aurai du trouver p1=-a

quelque chose coince, je me suis trompée, pourriez-vous m'aider s'il vous plait?
merci beaucoup!
mamaths