Topologie et groupe

par **minidiane** » 12 Oct 2007, 16:22

Bonjour je n'arrive pas à faire cet exercice:
Soit G un sous-groupe de R et a=inf G inter ]0,+ infini[
a) Montrer que si a=0 alors G est dense dans R
b) On suppose a>0. Montrer que a appartient à G puis, que G=aZ.
Merci de bien vouloir m'aider

par **aviateurpilot** » 12 Oct 2007, 16:38

a) soit

tel que

montrons que

tel que

on a

donc

tel que

donc

on a donc

(car

)

d'ou

est dense dans

par **minidiane** » 12 Oct 2007, 16:41

Je n'ai pas très bien compris pourquoi on a 0Peux-tu m'expliquer cela stp?
Merci

par **SimonB** » 12 Oct 2007, 16:42

Salut

Pour la a), tu montres que pour tout

, il existe

, puis tu en déduis que tout intervalle de

rencontre H.

Pour la b), raisonne tout d'abord par l'absurde : suppose que a n'est pas dans H, puis montre qu'il existe deux éléments entre a et 2a qui sont également dans H. Considère ensuite la différence de ces deux éléments.
Pour la suite, une inclusion est évidente. Pour l'autre, il faut penser division euclidienne... !

Bon courage, je t'ai un peu mâché la chose mais n'hésite pas à reposer des questions...

par **aviateurpilot** » 12 Oct 2007, 16:54

b) supposons que

soit

,

et on a

on a donc

et on a

si

on aura

(absurde)
donc

et

d'ou

on a

donc

d'ou

et par suite

(

)
conclusion

par **SimonB** » 12 Oct 2007, 17:03

Oui, mais bon, il vaut mieux que les gens *cherchent* leurs exercices...

par **aviateurpilot** » 12 Oct 2007, 17:05

[quote="minidiane"]Je n'ai pas très bien compris pourquoi on a 0E( x)>= x

par **Joker62** » 12 Oct 2007, 17:05

Un bon ptit dessin, et c'était évident crois moi

Version du problème en beaucoup plus détaillé.

http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=44087

par **minidiane** » 12 Oct 2007, 17:10

merci pour ton aide aviateurpilot
merci simon et joker aussi

J'ai une question pour le b) on a pas montrer que a appartient à G là, si?

par **aviateurpilot** » 12 Oct 2007, 17:14

minidiane a écrit:J'ai une question pour le b) on a pas montrer que a appartient à G là, si?

on a

donc

d'ou

par **minidiane** » 12 Oct 2007, 17:16

A oui d'accord merci
Je pense que j'ai compris merci beaucoup aviateurpilot

par **minidiane** » 12 Oct 2007, 17:25

J'ai un autre problème pour une autre démonstration:
Soit alpha un nombre rationnel. Je dois montrer que Z+alphaZ et N+alphaZ sont dense dans R mais je ne vois pas commen faire.
J'aimerai bien un peu d'aide
Merci

par **reelsigne** » 12 Oct 2007, 17:49

aviateurpilot a écrit:a) soit tel que
montrons que tel que

on a donc tel que
donc
on a donc (car )

d'ou est dense dans

bien jouer monsieur aziz meme si par fois tu complique les choses

par **SimonB** » 12 Oct 2007, 17:53

minidiane a écrit:J'ai un autre problème pour une autre démonstration:
Soit alpha un nombre rationnel. Je dois montrer que Z+alphaZ et N+alphaZ sont dense dans R mais je ne vois pas commen faire.
J'aimerai bien un peu d'aide
Merci

Es-tu sûr de ton énoncé ? (je pense qu'il s'agit plutôt de alpha irrationnel)

par **aviateurpilot** » 12 Oct 2007, 17:58

si

alors

qui n'est pas dense

par **minidiane** » 12 Oct 2007, 20:42

oups désolé c'est bien alpha irrationnel

par **SimonB** » 12 Oct 2007, 20:53

Raisonne par l'absurde : exprime le fait qu'il s'agit d'un

pour un certain a, montre qu'alors

s'exprime sous la forme d'un rationnel.

par **minidiane** » 12 Oct 2007, 21:18

Je n'y arrive pas :briques:

par **SimonB** » 12 Oct 2007, 21:45

D'après la définition de ton ensemble Z+alphaZ, 1 appartient à cet ensemble, et alpha aussi.
Suppose que cet ensemble s'écrit sous la forme aZ. Alors tu peux écrire 1 sous la forme ..., et alpha sous la forme ...

Et tu en déduis... ;)

par **aviateurpilot** » 12 Oct 2007, 21:50

soit

est un sous group de

si

alors

donc

d'ou

pour un

d'ou

qui donne

} donc

(absurde)
par suite

conclusion

est dense dans

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