Complexes

[maxv]

a designe un nombre complexe qui n'est pas un réel negatif ou nul.
Montrer qu'il existe un unique nombre complexe b de partie réelle strictement positive tel que b²=a.

Cela suffit-il de dire que b est la racine positive de a ?

[aviateurpilot]

soit ,
l'equation admet exactement solutions et dans .
maintenant il est evident à une partie réelle strictement positive ou bien à une partie réelle strictement positive.
car

[yos]

Cela suffit-il de dire que b est la racine positive de a ?

Non. La question est justement de prouver l'existence de "racines carrées" de a.
Quant à la racine "positive", cela n'a aucun sens car dans C, il n'y a pas d'ordre entre les éléments.

[thomasg]

Je ne pense pas que cela suffise.

En réécrivant l'équation b²=a avec les parties réelles et imaginaires puis en identifiant les réels et les imaginaires, j'obtiens (...aux erreurs de calcul près...)

(reb)^4-4(rea)(reb)^2-(ima)^2=0

qui se résoud en posant X=reb^2.

[AngeBlanc]

a designe un nombre complexe qui n'est pas un réel negatif ou nul.
Montrer qu'il existe un unique nombre complexe b de partie réelle strictement positive tel que b²=a.

Cela suffit-il de dire que b est la racine positive de a ?

Hum, ecrivons a en notation exponentielle.
Soit ra son module, ta une mesure de son argument.

a = ra * exp(i*ta)
Soit b = r exp( i t)

On a donc r² exp(i 2t) = ra exp(i*ta)

Donc on a r = (+ ou -) racine (ra)
t = ta/2

Si exp(i ta) a une partie réelle positive, R = racine(ra)exp (i ta) convient
Sinon on prend R = -racine(ra) exp (i ta)

Si a n'est pas un réel négatif , son arg n'est pas congru a pi mod 2pi
Donc ta/2 ne sera pas congru a pi/2 mod pi, donc la partie réelle sera toujours différente de 0 (on n'est pas sur l'axe imaginaire)

D'où l'existence du STRICTEMENT positif.

Ca va ?

Bon courage. :zen: