Exo Polynome + valeur propre.

[guio]

Soit n un entier positif, et soit E le - espace vectoriel des polynomes reels de degre inferieur ou egal a n

1) Soit p un element de E. Montrer que

On a degre P n
prouvons que degre de (2X + 1)P' n
soit deg(2X+1)P' = deg(2X+1)+degP'
= 1 + n-1
= n
on fait pareil pour

on en conclus que deg n

2) Soit f l'application de E definie par .
(a) <montrer que f est un endomorphisme de E, et ecrire sa matrice dans la base

Pour montrer que f est un endomorphisme je prend P,Q deux polynomes

f(P+Q)= (X²-1)(P+Q)"+(2X+1)(P+Q)'
= (X²-1)P" + (2X+1)P' + (pareil avec Q)
= f(P) +f(Q)

f

donc f est un endomorphisme.
ensuite j'ai pas encore fait.mais je pense qu'il calcule pour n=2 n=3 pour voir ce qu'il ce passe et ensuite pour un n qlq.

genre pour n =2 on a P=X² P'=2X et P"=2
on a alors 2(X²-1)+2X(2X+1)= 6X²+2X-2

on la matrice suivante

pour n=3

6X(X²-1)+3X²(2X+1)=

on a

voila la suite plutard en esperant etre sur la bonne voie et surtout j'espere trouve la matrice avec n qlq.

b) determiner les valeurs propres de f.

[nuage]

Salut,

Il est clair que la matrice est triangulaire pour n quelconque.
On récupère les valeurs propres sur la diagonale.
Il suffit donc de calculer ces termes, ce qui est facile en calculant .

[guio]

oui je suis d'accord.y a t-il quelque chose a dire pour affirmer que les valeurs propres sont sur la diagonale?ou faut-il simplement dire que c'est une matrice triangulaire ?

[nuage]

Il me semble que c'est un résultat connu :
Si A est une matrice triangulaire ses valeurs propres sont les éléments de la diagonale.

[guio]

autant pour moi dsl merci