Commutation de constructions sur les sigma algèbre

[Ptah Sokar]

Bonjour à tous !

Je bloque sur un petit exercice assez difficile d'intégration niveau L3 Maths.

Soient X un ensemble, A X et une algèbre (ou tribu) sur A.

J'ai tout d'abord réussi à montrer que := {BX / AB } est une tribu sur X.

Ensuite on définit : (X), et () la tribu engendrée par .
Il faut ainsi montrer que la tribu sur A engendrée par : A := { AB / B } est égale à la tribu trace :
A := { AB / B }
et donc que : (A ) = A

Et je bloque complètement. Tout d'abord je en vois pas comment définir concrètement la tribu sur A engendrée par A . Car si je réussi à l'exprimer je peux ensuite montrer la double inclusion de ces deux ensembles...
Je pense qu'il faut que je me serve de ce que j'ai montré au tout début : est une tribu, mais je ne vois pas trop à quoi cela peut me servir...

Merci à tous !

[legeniedesalpages]

Bonsoir, je pense que tu peux utiliser un procédé assez classique:

Tu montres d'abord que .
Ensuite comme est une tribu, et que est la plus petite tribu qui contient , on en déduit que .

Reste l'autre inclusion à montrer. On fait pareil, tu montres que .
Ensuite comme est une tribu, et que est la plus petite tribu qui contient , on en déduit que .

Du moins je pense qu ça peut marcher, à voir

[barbu23]

Bonsoir :
C'est pas un exercice ça, mais c'est une propriété de cours :
Voiçi comment on fait :

On introduit la classe suivante :

Montrons que : :
On a : .
C'est à dire :

C'est à dire :
:
C'est à dire :

Il faut montrer que :
Pour celà il suffit de montrer que : est une tribu sur . ( à toi de verifier ça , parceque c'est facile à faire )
Conclusion :
est une tribu et .
donc: .
C'est à dire :

c'est à dire :

Par conséquent :


C'est une technique que notre prof nous a beaucoup insister parceque c'est la base de beaucoup de propriété en théorie de la mesure, donc il faut bien la garder en tête !! ( jusqu'à maintenant, on est tombé sur 3 exemples de propriétés ou on utilise cette technique, c'est à dire considerer la classe d'ensemble telle que ... etc )