Suite et récurrence

[LEX]

ReBonjour à tous, j'ai encore une petite question,

J'ai toujours l'ensemble E des suites Xn tel que :
X(n+1) -6X(n) + X(n-1) =0

On me dit : Soit (Vn), l'element de E tel que V(-1)=1 et V(0)=1. Je dois montrer que pour tout n superieur ou égal a 1, Vn est un entier naturel.
Est ce que je peux faire la méthode suivante :
Je montre d'abord que la suite Vn est croissante a partir de V(0) par récurrence double pas :
Initialisation : V(1)=5 > V(0)=1.
Donc si V(n+1) > V(n), alors V(n+2) > V(n+1).
J'ai donc V(n+2) = 6V(n+1) -V(n), donc V(n+2) - V(n+1) = 5V(n+1) - V(n) > 0.
Ensuite je peux dire que : V(0) = 1 Entier naturel et V(1) = 5 entier naturel aussi.
Donc si V(n) et V(n+1) entier naturel, alors V(n+2) entier naturel.
V(n+2) = 6V(n+1) - V(n) > 0 et V(n+1) et V(n) entiers nat donc V(n+2) entier naturel.
Vn est donc un entier naturel a partir du rang n=0, donc a partir du rang n=1 vrai aussi.

Ca me parait une demonstration un peu "rapide" donc c'est pour ca que je vous demande votre avis bien que j'aimerai qu'elle soit bonne. :)

Merci d'avance encore une fois.

[Chimerade]

Ca me parait une demonstration un peu "rapide" donc c'est pour ca que je vous demande votre avis bien que j'aimerai qu'elle soit bonne.

Tout ce que tu dis est vrai et la démonstration est correcte. Mais je ne dirais pas qu'elle est "un peu rapide", plutôt "un peu longue".

La formule de définition montre clairement que les V(i) sont entiers. De V(n+2) - V(n+1) = 4V(n+1) + [V(n+1)- V(n)] tu déduis que la suite est croissante à partir de n=0. Comme elle "part" de 1 tous les V(i) sont des entiers naturels, et c'est terminé.

Tu avais dit tout cela, mais en beaucoup plus de mots (c'est vrai que j'ai résumé un peu, mais à peine).

Cela dit, il ne faut pas croire que toutes les questions demandent deux pages de démonstration. Parfois, une question est quasi évidente et se traite en une ligne. Le poseur de problème a posé cette question pour attirer votre attention sur un fait qui vous sera utile plus tard dans la démonstration.

[LEX]

Merci beaucoup :).

Mais est ce que ca veut dire que pour ce genre de petites questions je pourrai "passer" la récurrence?
Par exemple si j'ai la meme suite U(n+1) -6U(n) + U(n-1) =0 et qu'on me dit U(-1) = U(0) = 0

Je suis obligé de faire l'initialisation et l'héredité ou je peux juste dire que il apparait clairement que Un = 0 car ses deux premiers termes sont nuls et que Un est defini uniquement en fonction de ses deux precedents termes?

[Chimerade]

Merci beaucoup .

Mais est ce que ca veut dire que pour ce genre de petites questions je pourrai "passer" la récurrence?
Par exemple si j'ai la meme suite U(n+1) -6U(n) + U(n-1) =0 et qu'on me dit U(-1) = U(0) = 0

Je suis obligé de faire l'initialisation et l'héredité ou je peux juste dire que il apparait clairement que Un = 0 car ses deux premiers termes sont nuls et que Un est defini uniquement en fonction de ses deux precedents termes?

Ben tout dépend de ton niveau et de ton prof ! Il y a des choses que tu dois détailler en troisième et que tu peux déclarer évidentes en terminale, d'autres que tu dois détailler en terminale et que tu peux déclarer évidentes en spé...
J'ai connu un type qui a passé le concours de Normale Sup en même temps que Laurent Schwartz (évidemment, il ne savait pas que ce dernier aurait la médaille Fields plus tard !!!); il m'a dit l'avoir observé pendant les 6 heures de l'un des problèmes de maths ! Eh bien pendant 5 heures et 30 minutes, Schwartz a regardé le plafond : il réfléchissait ! Ensuite, il a pris sa feuille, a écrit son nom et a rédigé à peu près une page (alors que les autres en étaient peut-être à la page 10!). Et il a été reçu major ! Cela veut dire, qu'il n'a certainement pas détaillé grand-chose ! Le correcteur a compris que Schwartz ne s'était pas embêté à détailler des trucs qu'il jugeait évidents, parce qu'il a perçu le niveau de réflexion de ce type....et la qualité de ses conclusions.
Je dirais, pour un Terminale, il faudrait détailler. Puisque tu es en MPSI, c'est vraiment presque évident. Mais, ca dépend quand même du prof. Alors, "sauter la récurrence", c'est un peu dangeureux, mais tu peux certainement abréger parce que c'est particulièrement évident... Pour moi les deux lignes ci-dessus sont suffisantes pour montrer que Un=0 - pour un MPSI-. Par contre pour un Terminale, si c'est le premier de la classe, c'est bon, si c'est le dernier de la classe, ce n'est pas bon parce que je voudrais qu'il détaille et me prouve qu'il a compris le principe de la récurrence ! Tu vois ?Mais je ne suis pas prof de MPSI ! Enfin, je ne veux pas prendre la responsabilité d'une mauvaise note...c'est toi qui vois !
Peut-être Galt ou Phenomene pourrait confirmer ou infirmer mon commentaire, parce que je ne suis pas prof de maths !

[LEX]

Oui je comprends ce que tu veux dire. Je pense que je vais faire la recurrence et je demanderai au prof si il aurait accepté qu'on fasse plus vite.
Merci Chimerade.

[phenomene]

Peut-être Galt ou Phenomene pourrait confirmer ou infirmer mon commentaire, parce que je ne suis pas prof de maths !

Je confirme ! En toute rigueur, un raisonnement par récurrence est nécessaire ; maintenant, on peut supposer que c'est bien trop évident par rapport à la difficulté de ce qui est demandé par ailleurs. Difficile de connaître à l'avance les exigences de tel ou tel professeur. Mais en MPSI, une phrase comme "un raisonnement par récurrence assure immédiatement que..." me semble suffisante (cela montre qu'on sait que la chose se montre par récurrence mais qu'on a aussi remarqué que c'était trivial). Bien sûr, on peut plus facilement se permettre ce genre de raccourci si la qualité du reste de la copie confirme que la récurrence était vraiment triviale pour l'étudiant... S'il bute sur des choses évidentes par ailleurs, on sera certainement plus suspicieux quant à ce qu'il déclare évident !

[Chimerade]

Bien sûr, on peut plus facilement se permettre ce genre de raccourci si la qualité du reste de la copie confirme que la récurrence était vraiment triviale pour l'étudiant... S'il bute sur des choses évidentes par ailleurs, on sera certainement plus suspicieux quant à ce qu'il déclare évident !

Bien dit, et merci de votre soutien !

[LEX]

Oui mais c'est justement pour ca que je vous le demande, car comme je suis en MPSI, bah normalement un DM est difficile, et en voyant certaines questions comme celles-ci, leurs facilités me surprennent... c'est pourquoi je demandais si ce que je disais était vrai ou si il y avait pas un gros piège caché.