Arithmétique[Spé Maths]

[csacn]

ta réponse 2 est fausse, factorise par n et après utilise une identité remarquable.( n^4 =(n^2)^2 :++:

[csacn]

Réponse 3, si c'est pair, c'est divisible par 2 et non par 8 ..... :marteau:

[lapras]

salut
n²+5n+4 = (n+1)²+3(n+1) = (n+1)(n+4)
donc
(n²+5n+4) / (n+1) = n+4
donc la fraction est un entier pour tout n
donc....
2)
n(n^4 - 1) = n^5 - n = n(n²-1)(n²+1) = n(n-1)(n+1)(n²+1)
on peut démontrer que n^5-1 est divisible par 2
On peut démontrer que n^5 - 1 est divisible par 3
donc divisible par 6
(n entiers consécutifs sont divisibles par n, tu peux le démontrer avec les congruences)
si n = 0 [5], n^5 - n = 0[5]
si n = 1[5], alors n-1 = 0 [5]
si n = 2[5], alors n²+1 = 0 [5]
si n = 3[5], alors n²+1 = 0 [5]
si n = 4[5], alors n+1 = 0 [5]

dans tous les cas n^5 - n divisible par 5

3)
n²-1 = (n-1)(n+1)
n = 2k+1
<=>
n²-1 = 2k(2(k+1)) = 4k(k+1)
or k(k+1) deux entiers consécutifs => divisible par deux
donc
le tout divisible par 8
CQFD

[lapras]

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