Formes linéaires + un peu de géométrie...

[pouik]

Bonjour,
Pourriez-vous m'aiedr à répondre à ces quelques questions sur lesquelles je bute plus ou moins. Merci d'avance pour votre aide.
1. Soient et deux formes linéaires sur l'espace vectoriel , supposées linéairement indépendantes. On donne une troisième forme linéaire et on suppose que inter inclus dans . Montrer que .
2. Dans , soit la droite vectorielle définie par les équations .
a. Donner un vecteur directeur de .
b. Montrer que tout plan contenant admet une équation cartésienne de la forme
,
où et sont deux réels non tous deux nuls.
c. ecrire l'équation du plan vectoriel contenant la droite et le vecteur .

[pouik]

Pour la 1., j'ai procédé par l'absurde.
Supposons que .
Et comme et étaient déjà deux formes linéaires indépendantes, a fortiori , et sont trois formes linéaires.
D'où, pour tout : implique
Or par hypothèse (inter) (inclus dans) , on a donc en particulier :
et (implique) ,
d'où, par somme : , ainsi pour (différent de ), on a .

Contradiction avec l'hypothèse, donc .

est-ce correct ??

[thomasg]

Il y aquelques confusions me semble-t-il dans ta démo entre phi et ker phi.

Telle qu'elle est elle me semble donc comporter des erreurs.

Voici un essai de démo de ma part:

Notons D=vect(phi1 ; phi 2)

notons DO l'orthogonal de D et DOO l'orthogonal de l'orthogonal.

on a DOO=D (propriété vraie en dimension finie)

or

si x est dans DO alors phi1(x)=0 et phi2(x)=0
donc d'après ton hypothèse sur les Ker on a phi3(x)=0
donc phi3 appartient à DOO, donc phi3 appartient à D.

Ce qui achève la démonstration.

[pouik]

D'accord pour mes erreurs, mais comment peut-on traiter la question 1. par l'absurde, ca m'interesse.

De plus : l'orthogonal ca ne me dit rien du tout :hum: :hum:

[thomasg]

L'orthogonal d'une partie A d'un ev est l'ensemble des éléments de son dual qui annulent cette partie.

Pour le raisonnement par l'absurde je vais essayer de regarder.

A bientôt.

[thomasg]

Démo par l'absurde

si phi3 indépendante de phi1 et phi2 alors phi1, phi2 et phi3 constituent une base de l'espace des formes linéaires sur R3 (car cet espace des formes linéaires est de dimension 3).

Considérons x1, x2, x3 la base duale associée à phi1, phi 2, phi3

ie: phi1(x1)=1 phi1(x2)=0 phi1(x3)=0
phi2(x1)=0 phi2(x2)=1 phi2(x3)=0
phi3(x1)=0 phi3(x3)=0 phi3(x3)=1 (l'existence d'une telle base doit être prouvée dans ton cours, à demander sinon)

donc x3 appartient à kerphi1 inter kerphi2 en n'appartient pas à kerphi3

ce qui est contraire à l(hypothèse de départ.

En espérant avoir répondu correctement à ta question, à bientôt.

[pouik]

Bonjour,
Merci pour la 1. j'ai bien compris... :zen:

Sinon, pour la 2. a) Je fais la somme des deux équations et donc je propose pour le vecteur directeur de : , est-ce correct ??

[thomasg]

Bonjour,

explique moi un peu plus ta méthode,

pour ma part partant de la base que ta seconde équation est 2x+y-z=0

je trouve (en déterminant deux points de la droite) le vecteur directeur suivant: (2 ; -3 ; 1).

A bientôt.

[pouik]

Bonjour,
en fait ma méthode consiste à isoler z dans la deuxième équation pour le reporter dans la première et ainsi, je trouve une équation de droite 3x+2y=0 dont j'ai déduis mon vecteur.

Est-ce que c'est correct ??

[thomasg]

Dans ton raisonnement le problème semble être dans:"dont j'ai déduis mon vecteur."

Mais je peux très bien me tromper. A vérifier par quelqu'un svp.

[pouik]

Bonjour,

explique moi un peu plus ta méthode,

pour ma part partant de la base que ta seconde équation est 2x+y-z=0

je trouve (en déterminant deux points de la droite) le vecteur directeur suivant: (2 ; -3 ; 1).

A bientôt.

oui donc en fait vous avez dit que O appartient au plan et que le point de coordonnée (2,-3,1) appartiennent à la droite d'où on a notre vecteur directeur.

Par contre ce que je ne vois pas du tout, c'est comment répondre à la question suivante... :briques: :briques: