Polynome de degré 3

[nanaelle38]

Bonjour! J'ai un DM a faire pour demain et je m'en sors vraiment pas. voici l'énoncé:
Le but de cette partie est de trouver une formule rapide pour calculer la somme Sn=1*2+2*3+3*4+....+n*(n+1)ou n designe un entier naturel superieur ou egal a 2
Exemples:S3=1*2+2*3+3*4=2+6+12=20
S7=1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+7*8=2+6+12+20+30+42+56=168
Pour trouver cette formule, nous allons utiliser un polynome de degré 3 verifiant1) P(x+1)-P(x)=x(x+1) pour tout réel x, et (2): P(1)=0 On pose P(x)=ax^3+bx^2+cx+d
1_En utilisant la relation (1) et la relation (2), calculer a, b, c et d puis factoriser P(x)
2_En ecrivant la relation (1) pour x entier naturel allant de 1 à n , puis en additionnant membres a membres ces egalités, montrer que Sn=P(n+1). factoriser Sn.

J'ai déja bien commencer le 1 et j'ai obtenu 3ax²+(3a+2b)x+a+b+c=x²+x mais apres je seche svp aidez moi merci d'avance

[gol_di_grosso]

Bonjour! J'ai un DM a faire pour demain et je m'en sors vraiment pas. voici l'énoncé:
Le but de cette partie est de trouver une formule rapide pour calculer la somme Sn=1*2+2*3+3*4+....+n*(n+1)ou n designe un entier naturel superieur ou egal a 2
Exemples:S3=1*2+2*3+3*4=2+6+12=20
S7=1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+7*8=2+6+12+20+30+42+56=168
Pour trouver cette formule, nous allons utiliser un polynome de degré 3 verifiant1) P(x+1)-P(x)=x(x+1) pour tout réel x, et (2): P(1)=0 On pose P(x)=ax^3+bx^2+cx+d
1_En utilisant la relation (1) et la relation (2), calculer a, b, c et d puis factoriser P(x)
2_En ecrivant la relation (1) pour x entier naturel allant de 1 à n , puis en additionnant membres a membres ces egalités, montrer que Sn=P(n+1). factoriser Sn.

J'ai déja bien commencer le 1 et j'ai obtenu 3ax²+(3a+2b)x+a+b+c=x²+x mais apres je seche svp aidez moi merci d'avance

pour la 1)
ecrit
P(x+1)-P(x)=a(x+1)^3+b(x+1)^2+c(x+1)+d-ax^3-bx^2-cx-d
tu developpe (un peu chiant certe)
ensuite tu regroupe tout les x^3 les x^2 et les x et le reste
et tu doit avoir P(x+1)-P(x)=x^2+x donc le truc devant x^3 sera nul celui devant x^2 sera egal à 1 pareil devant x et le reste devra etre nul.
tu peu aussi utiliser P(1)=0 a+b+c+d=0

[nanaelle38]

ok merci j'avai obtenu ce resultat mais c'est surtout pour le 2 que je bloque. J'obtien apres additionnementation P(n-1)-P(1)=2+6+12+.....+n(n-1)+n(n+1) :hein: et en fait normalement faut que je trouve Sn=P(n+1) en fin voila koi c'est la deche!! merci pr le 1

[gol_di_grosso]

Bonjour! J'ai un DM a faire pour demain et je m'en sors vraiment pas. voici l'énoncé:
Le but de cette partie est de trouver une formule rapide pour calculer la
2_En ecrivant la relation (1) pour x entier naturel allant de 1 à n , puis en additionnant membres a membres ces egalités, montrer que Sn=P(n+1). factoriser Sn.

J'ai déja bien commencer le 1 et j'ai obtenu 3ax²+(3a+2b)x+a+b+c=x²+x mais apres je seche svp aidez moi merci d'avance

relation (1) de 1 à n
=P(1+1)-P(1)+P(2+1)-P(2)+P(3+1)-P(3)+...+P(n-1+1)-P(n-1)+P(n+1)-P(n)
oui ?
ca fait aussi d'apès ce que tu a fait à la 1)
1(1+1)+2(2+1)+3(3+1)+...+(n-1)(n-1+1)+n(n+1)
et ça c'est Sn non ?
donc Sn =
P(1+1)-P(1)+P(2+1)-P(2)+P(3+1)-P(3)+...+P(n-1+1)-P(n-1)+P(n+1)-P(n)
mais ce truc se simplifie
P(2)-P(1)+P(3)-P(2)+P(4)-P(3)+...+P(n)-P(n-1)+P(n+1)-P(n)
et il va rester P(n+1)
non ?

[nanaelle38]

roooo!!! ah ben oui merci infiniment dsl si je met un peu bocou de temps a repondre mais chui pas douée ac les ordis^^ bon maintenant faut que je verifie si S3=20 et S7=168!!! j'espere que sa va etre bon merci encore

[gol_di_grosso]

enfait il va aussi rester P(1) mais je crois que c'est égal à 0
pense quand même à le dire c'est imortant

[nanaelle38]

Re chui decidement pas douée!!! Comment est ce qu'il faut que je fasse là????:
On note Tn la somme des carrés des n premiers entiers naturels non nuls:
Tn = 1²+2²+3²+....+n²
et Rn la somme des n premiers entiers naturels non nuls: Rn=1+2+3+4+....+n
Rappel: On sait que Rn=(n(n+1))/2
1_En remarquant que Sn est la somme des k(k+1) pour k entier naturel allant de 1 à n montrer que:
Sn =Tn+Rn et en deduire Tn en fonction de n.

si quelqu'un pouvait m'aider svp!!! merci d'avance

[gol_di_grosso]

Re chui decidement pas douée!!! Comment est ce qu'il faut que je fasse là????:
On note Tn la somme des carrés des n premiers entiers naturels non nuls:
Tn = 1²+2²+3²+....+n²
et Rn la somme des n premiers entiers naturels non nuls: Rn=1+2+3+4+....+n
Rappel: On sait que Rn=(n(n+1))/2
1_En remarquant que Sn est la somme des k(k+1) pour k entier naturel allant de 1 à n montrer que:
Sn =Tn+Rn et en deduire Tn en fonction de n.

si quelqu'un pouvait m'aider svp!!! merci d'avance

=P(1+1)-P(1)+P(2+1)-P(2)+P(3+1)-P(3)+...+P(n-1+1)-P(n-1)+P(n+1)-P(n)
et tu sais que P(x+1)-p(x)=x(x+1)=x²+x
quand tu ajoute Rn et Tn tu as :
=1+2+3+4+....+n + 1²+2²+3²+....+n²
=1+1²+2+2²+3+3²+...+n+n²
et tu sais que Sn=P(n+1) donc tn=Sn-Rn=P(n+1)-n(n+1)/2
et là tu doit trouvé un truc plus simple et faisant P(n+1)-n(n+1)/2

moi je pars

[nanaelle38]

oula c moi ki suis tres blondes ou c toi ki est plus intelligent ke la moyenne!!!!^^
et ben merci bien pour toute ton aide!!! tu m'as sauvé la vie! ciao