Etude de deux suites

[Delph57]

Bonjour,



J'ai un exercice a faire en Dm et je suis bloquée...


Soit f(x) = (2x+1)/(x+1)

On considère les suites (Un) et (Vn) défines sur N par:

U(0) = 1 et, pour tout n de N, U(n+1) = f(Un)
V(0) = 2 et, pour tout n de N, V(n+1) = f(vn)


J'ai montré par réccurence que:

Que pour tout n de N, 1 =< U(n) =< 2
Que pour tout n de N, U(n) =< U(n+1)
Que pour tout n de N, 1 =< V(n) =< 2
Que pour tout n de N, V(n+1) =< V(n)

Ensuite, j'ai montré que:

V(n+1) - U(n+1) = (V(n) - U(n)) / ((V(n)+1)(U(n)+1))


Je dois en déduire que pour tout n de N,

V(n) - U(n) >= 0 et V(n+1) - U(n+1) =< 1/4 (V(n) - U(n))


La première inégalité j'ai réussi àla montrer mais la seconde je suis coincé Pourriez vous m'aider


Je dois également montrer que tout n de N, V(n) - U(n) =< (1/4)^n mais je n'y arrive pas non plus...


Ebfin je dois en déduire que les suites (U(n)) et (V(n)) convergent vers un même réel alpha
Déterminer la valeur exacte de alpha....




Je vous remercie d'avance pour votre aide