GROS problème en maths

[CelineC]

Bonjour à vous tous,

Première visite et inscription sur ce forum de maths, en ce moment en 1º année maths et science de l'ingenieur.

J'ai un devoir maison à rendre pour la semaine prochaine, et je nage un peu c'est le moins qu'on puisse dire, si quelqu'un pourrait m'aider à le demarré. (je demande pas qu'on me le fasse ...). J'ai 4 exo dont le 1er ca va et le 4 eme je peux me debrouiller.

Je vous donne l'énoncé de l'exo2:
Exercice 2. On lance 3 pieces ensembles 100 fois de suite et on compte le nombre de (( face ))sorti : pour la piece A, face est sorti 70 fois ; pour la B, 50 fois et pour la C, 56 fois. Simultanement pour A et B : 31 fois ; sitanement pour B et C : 28 fois. D´emontrer que A, B et C ont sorti simultan´ement face au moins 9 fois, et simultan´ement pile au plus 11 fois. [Bien entendu on representera la situation sous forme d’un ensemble `a 100 ´elements, de trois sous-ensembles et de leurs unions et intersections.]

L'exo3 (pour celui ci juste une explication de comment on doit si prendre)
Exercice 3. Soit E un ensemble, A et B deux parties de E et f : P(E) ! P(A) × P(B)
l’application d´efinie par f(X) = (A \ X,B \ X).
a) Montrer que f est surjective si et seulement si A \ B = ; [on pourra utiliser 8x 2
A, ({x}, ;) 2 Imf].
b) Montrer que f est injective si et seulement si A [ B = E.
c) Dans le cas o`u f est bijective, expliciter f;)1.
On suppose maintenant que E est un ensemble fini, que A\B = ; et que A[B = E. On note
p le cardinal de A et q celui de B. D´eduire de ce qui pr´ec`ede que pour tout r 2 N inf´erieur ou
´egal `a p et q on a :
r Xi=0 p
i q
r ;) i= p + q
r .
Calculer en particulier
n Xi=0 n
i2
et en d´eduire
n Xi=0
(2n)!
(i!)2[(n ;) i)!]2 .

Exercice 4. Soit f : E ! F, g : F ! G, H : G ! E des applications. Montrer que si f  h
est injective (respectivement surjective) alors h est injective (resp. f est surjective).
On consid`ere les 3 applications h  g  f, g  f  h et f  h  g. Montrer que si deux d’entre elles
sont injectives et la troisieme surjective alors f, g et h sont bijectives.


Je sais pas si tres conrehensible au niveau de la question de l'exo3 c).

L'exo4 je l'ai aussi collé ...


merci À ceux qui m'auront lu et un GRAND merci à ceux qui vont peut-être me répondre.

Céline

[yos]

Tu as cette formule :
.

[abcd22]

Bonjour,

L'exo3 (pour celui ci juste une explication de comment on doit si prendre)
Exercice 3. Soit E un ensemble, A et B deux parties de E et f : P(E) ! P(A) × P(B)
l’application d´efinie par f(X) = (A \ X,B \ X).
a) Montrer que f est surjective si et seulement si A \ B = ; [on pourra utiliser 8x 2
A, ({x}, 2 Imf].

Ce n’est pas si et seulement si la condition ? Ou de manière équivalente A\B = A ? Quand tu notes « \ » c'est bien « privé de » ou l'intersection ? (le résultat est le même dans les deux cas de toute façon puisque )
Par contraposée (pour =>), si on suppose qu'il existe x tel que , existe-t-il tel que ?
Réciproquement si on suppose , on prend 2 parties Y et Z de A et de B et on peut trouver X explicitement en fonction de A, B, Y et Z tel que f(X) = (Y,Z) (quand on a un exercice de ce genre il faut faire des dessins pour voir ce qu’il se passe).

b) Montrer que f est injective si et seulement si A [ B = E.

Il faut comprendre je suppose.
Pour =>, encore par contraposée, si on suppose qu’il existe , on peut expliciter 2 antécédents de (;),;)) par f.
Pour <=, là encore faire un dessin pour voir pourquoi on n’a qu’un choix possible pour X si on suppose que f(X) = (Y,Z) avec et et ensuite l’écrire mathématiquement.

c) Dans le cas o`u f est bijective, expliciter f;)1.

Avec les questions A et B c’est déjà fait en fait.
Je ne comprends pas la suite de la question, essaie de l’écrire en toutes lettres ou en (fais une recherche sur le forum pour trouver des liens avec la liste des symboles, tu peux aussi faire « citer » sur un message pour voir comment les symboles mathématiques ont été écrits).

[CelineC]

Merci de m'avoir répondu.

Je pense que cela va deja m'aider.
Si ce n'est pas le cas .... (mais j'espère pas)

a+ (surement pour d'autre DM ou mieux)

Céline

[CelineC]

Pour l'exo2, merci pour la formule. (je l'avais aussi déjÈ trouvé sur le net)
Le problème, c'est que je n'ai pas toutes les donné, alors je reste bloqué ...

Je vous ecris ce que j'ai fait

"/" => pour moi c'est interserction pas facil pour me lire, mais je sais pas trop comment faire ....

Card(A/B/C) = 100 - 70 - 50 -56 +31 + Card (A/C) + 28
= -17 + Card(A/C)

J'ai fait aussi :

Card(C " privé de " (A/C)) = 100 - 89 = 11
Card ( A "privè de " (B/C) = 100- 78 = 22

J'arrive à la conclusion suivante : 39 >= Card (A/C)

Après je sais pas, je sais meme pas si je suis bien parti ou pas

Je vous laisse le privilège de me le dire

a+

Céline

[CelineC]

Dans le cas o`u f est bijective, expliciter f;)1.
On suppose maintenant que E est un ensemble fini, que A\B = ; et que A[B = E. On note
p le cardinal de A et q celui de B. D´eduire de ce qui precede que pour tout r e N inferieur ou egal a p et q on a :


Calculer en particulier



et en deduire




J'ai fais les question precedente. Mais maintenant je suis perdue: je sais pas comme m'y prendre.

Merci pour vos réponses.

Céline.

[CelineC]

J'ai essayé d'écrire les symboles en matematiques mais je ne suis pas arrivée

r ( p ) ( q ) ( q+p )
Somme ( ) ( ) = ( )
i=0 ( i ) ( r- i ) ( r )



Calculer en particulier :
n (n) ^2
Somme ( )
i=o (i)


Et en deduire

n (2n)!
Somme _________
i=0 (i!)^2 ((n-i)!)^2


Désolé pour l'écriture.

Mais si vous pouvez tout de meme me répondre se serait cool.

Bon soir a vous tous.

Celine

[yos]

Pour l'exercice 2

[CelineC]

L'exo2 je l'ai trouvé du moins ca correspnd à ce que je dois trouvé.


Dans l'exo 3 c) me pose encore des problèmes (je me dis que c'est qu'une question que je fais pas c'estpas très grave)

Par contre je pose une autre question: Est-ce qu'il y a une théorème qui dit explicitement que: la composé de deux surjection donne une surjection: dans ce cas je sais que oui. Mais, est-ce qu'il exicte un thérème: qui dit que la composé de deux fonctions est surjective comme gof alors f est surjective et g l'est aussi.


J'espere n'êtes pas trop embrouillé, et que surtout une personne puisse me répondre.


Merci À tous.


Ceílne

[thomasg]

Je ne pense pas, voici un contre exemple

soit E={x1;x2} ; F={y1;y2} et G={z}

f de E dans F tel que f(x1)=y1 et f(x2)=y1
g de F dans G tel que g(y1)=z et g(y2)=z
alors gof est surjective avec f qui ne l'est pas.

En espérant avoir répondu correctement à ta dernière question (je n'ai pas lu les autres posts).

[yos]

Si surjective, alors g est surjective.

[CelineC]

Merci à vous deux.

Meme question pour une composé À trois: h o g o h surgectives , alors h et h o g surjectives. C'est quelle théorème. Comment on fait la demo.

Merci

Céline

[CelineC]

éhB personne ne sait ...

[yos]

Si surjective, alors g est surjective.
Pour f on n'en sait rien!
Applique ceci au cas de trois fonctions.

[CelineC]

Yos: c'est ce que j 'ai fait et ca a marché.

Autre question: est-ce que l'on peut appliquer le theoreme suivant: la composé de deux bijective est une bijective. Dans le cas ou on sait que la composé est une bijection et que l'une d'elle est une bijection: Est-ce que l'on peut dire que l'autre qui la compose est alors elle aussi une bijection.

Ou pas du tout.

FoG => bijetive et et H => bijective
Est-ce que l'on peut dire que G est bijective.

Je sais pas trop si c'est compréhensible.

merci de me repondre.

Celine

[thomasg]

Je pense que dans ton énoncé il faut remplacer H par F

Notons G:E1-->E2 et F:E2-->E3

1) Montrons que G est surjective.

Si G non surjective alors il existe y de E2 tq pour tout x de E1 G(x) n'est pas égal à y
F est bij, notons f(y)=z, y est l'unique antécédent de z.
Donc z n'a pas d'antécédent par FoG. Ce qui est impossible car FoG est bij.

Donc G est surjective.

2) Montrons que G est injective.

si G non injective alors il existe x1 et x2 de E1 tq G(x1)=G(x2)=y
donc FoG(x1)=FoG(x2)=F(y)
Donc FoG n'est pas injective. Ce qui est impossible.

Donc G est injective.

3) Conclusion: G est bijective.