Transformée de fourier....

[franz2b]

Bonjour a tous, j'ai du mal a resoudre un exercice, j'aimerai avoir quelques indications si quelqun peut m'aider:

Soit F(f) la transformée de fourier de f
Sf(X).dx est ma notation pour l'integrale de f sur x

Enoncé:
[f est L1(R) , F(f) est L1(R)]=>[ f(x) = S(F(f)(k).exp(ikx)).dk ]

_________________

Pour prouver ceci, j'ai deja remarqué que bien sur:
S(F(f)(k).exp(ikx)).dk=F°F(f)(-x)

et je pars de la maniere suivante (sans aboutir pour autant..):
on sait qu'il existe (Psi.n) une suite 'regularisante' de L1 tel que le pdt de convolution
f*Psi.n -> f quand n->infini


J'essaie donc d'etablir l'egalité qu'on nous demande en faisant tendre vers 0 la norme de la difference de f*Psi.n et S(F(f)(k).exp(ikx)).dk quand n tend vers l'infini:

||f*Psi.n - S(F(f)(k).exp(ikx)).dk||->0 ?

comment continuer?....

[fahr451]

bonsoir

si je comprends bien tu veux montrer le théorème d'inversion de fourier

tu pars de rien ou tu as un énoncé (guidé) précis si oui donne le

[franz2b]

:)
ben une reponse a cette heure ci, je ne m'y attendais pas...ca fait plaisir :we:

Alors non, il n'y a pas d'enoncé guidé puisque l'exercice est de demontrer un corollaire du theroreme d'existence de suites regularisantes de L1 pour toute fonction de L1.

Ce corollaire, c'est celui que j'ai enoncé dans mon post, et c'est pour cela que j'ai pensé utiliser des suites regularisantes pour le demontrer.

Par contre je ne savais pas que c'etait le thm d'inversion de fourier...Je file trouver une demo si c'est le cas, je compte neanmoins sur vous pour m'aider, si je n'en trouve pas :happy2:

[franz2b]

j'ai trouvé une demo, mais vachement space...
qui utilise les derivées...mais je ne l'ai pas comprise.

donc une aide de la part du forum ne serai pas de refus :)

[franz2b]

c'est bon probleme resolu, il suffit de montrer que la limite de l'integrale qo'on veut trouver , qd on y injecte la transformée de la convolution de f par phi.n tend vers ce qu'on veut

il y a une ou deux convergences dominées a appliquer donc rien de bien méchant...