Matrices semblables

par **Azuriel** » 06 Oct 2007, 14:16

Bonjour je voulais savoir si une de mes demo pour répondre a une question était valable.

Alors voila j'ai A et B 2 matrices carré semblable donc A = (P-1) B P où P est inversible. On me demande de montrer que si A est inversible par ex alor B est également inversible.

Alors j'ai raisonner sur le rang en me disant que si le rang est maximale alors la matrice est inversible. Dites moi si il y a une erreur dans mon raisonnement car je doute un peu.

J'ai Rg(B*P) = rgB car P inversible

Donc Rg((P-1)*B*P) = rgB car P-1 aussi.

donc j'ai rg(A) = rg(B) donc si A est inversible, B aussi ?

par **Daniel-Jackson** » 06 Oct 2007, 14:30

Oui .

Une matrice inversible est une matrice de rang maximal , donc si A est de rang maximal , et rg(B) =rg(A) alors B est aussi de rang maximal donc inversible.

par **Azuriel** » 06 Oct 2007, 14:46

Merci, je doutais pas de la fin mais surtout de la façon dont je manipuler le rg et les fonctions composés (vu qu'a chaque matrice on associe un endo).

Tant que j'y suis je voulais savoir si vous saviez comment determiner une base de Mn(K) formée uniquement de matrices de projecteurs.
Je sais que le rang d'une matrice projecteurs est égale a sa trace, donc je pensais utiliser le rang mais en fait je n'ai pas une propriété de famille échelonné en rang ni rien comme dans les polynome par ex..je vois pas comment faire..si vous pouviez m'aider.

par **Azuriel** » 06 Oct 2007, 16:16

Tu ne voulais pas dire Eij+Eji si i different de j ? Et sinon comment tu trouve ? tu devine completement ou un calcul permet de le determiner ?

par **Azuriel** » 06 Oct 2007, 16:41

Premiere fois qu'une mite en pullover m'explique aussi bien des maths :doh:

par **franz2b** » 06 Oct 2007, 18:53

Tu as une demonstration beaucoup plus efficace avec les determinants:

Ton pb: A=P^-1.B.P
[A inv]=>[B inv]

demo:
On a facilement
B=P.A.P^-1

P est inversible, car P^-1 existe, leur determinant est non nul
A inversible donc son det est non nul

Or det(B)=det(P).det(A).det(P^-1) non nul, donc la matrice est inversible, (bijective)

(on a meme que det(A)=det(B) vu que det(P^-1) =det(P)^-1 )

par **fahr451** » 06 Oct 2007, 18:57

franz2b a écrit:Tu as une demonstration beaucoup plus efficace avec les determinants:

)

la première preuve est très bien

si on parle " d efficacité" je dirais que deux matrices semblables représentent le même endo dans des bases différentes et que toute propriété de l'application linéaire se traduit aussi bien sur l'une que sur l'autre des matrices

par **franz2b** » 06 Oct 2007, 20:54

fahr451 a écrit:la première preuve est très bien

si on parle " d efficacité" je dirais que deux matrices semblables représentent le même endo dans des bases différentes et que toute propriété de l'application linéaire se traduit aussi bien sur l'une que sur l'autre des matrices

La premiere demo est tres bonne, je ne vois pas pourquoi j'ai parlé d'efficacité effectivement

par **Azuriel** » 07 Oct 2007, 10:58

Merci beaucoup ;). Et quel match hier !!!!!!

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