Probleme sur les polynomes

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Laurene123
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Probleme sur les polynomes

par Laurene123 » 04 Oct 2007, 22:19

Bonsoir, je n'arrive pas à faire ce problème: déterminer les réels a et b tels que le polynome ax(n+1) + bx(n) + 1 soit factorisable par le polynome (x-1)². Entre parentheses sont les indices (n+1 et n sont indices de x). J'ai essayé avec un tableau ou avec l'algorithme d'Horner mais ça ne mene à rien à cause des puissances en n, je pense qu'il y a une astuce que j'ai pas vu. (merci d'avance)



thomasg
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par thomasg » 04 Oct 2007, 22:40

bonsoir, je suppose que quand tu dis indices tu veux dire exposant.

Si (x-1)² factorise ton polynôme cela veut dire que 1 est racine de ton polynôme, donc a+b+1=0.

Il faut voir si cela n'aide pas à poursuivre.

pianozik
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par pianozik » 04 Oct 2007, 23:44

1 est une racine du polynôme, mais aussi une racine double, ce qui fait que Image divise Image , si Image, donc tu n'as qu'à calculer la dérivée, et et dire que 1 est encore racine de ce polynôme.
En general, pour un polynôme Image, si Image est une racine d'orde Image , alors Image est une racine de Image et ImageImage est différent de Image

Laurene123
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par Laurene123 » 05 Oct 2007, 00:35

Oui pardon je voulais dire exposants.
En fait je suis en premiere et on a pas encore vu les dérivées.
Pour ce qui est de a+b+1=0 j'ai essayé de factoriser par x(n) le polynome pour trouver a+b+1 mais ça marche pas et meme si ça marchais ça m'aiderais pas à trouver a et b. Donc je me suis concentré sur a+b+1=0 et si 1 est solution double alors -b/2a=1 (?) et après je fais un système et je trouve a=1 et b=-2 mais ça me semble très faux.

guadalix
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par guadalix » 05 Oct 2007, 00:39

Il est fort pianozik quand meme...chapeau

thomasg
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par thomasg » 05 Oct 2007, 10:09

En appliquant la méthode proposée par pianozik associée à ma première remarque on trouve je crois

b=-n+1 et a=n-2

Je n'ai pas bien compris ton dernier message.

guadalix
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par guadalix » 05 Oct 2007, 10:17

thomasg a écrit:En appliquant la méthode proposée par pianozik associée à ma première remarque on trouve je crois

b=-n+1 et a=n-2

Je n'ai pas bien compris ton dernier message.


salut je trouve plutot b=-n-1 et a= n, à verifier...

thomasg
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par thomasg » 05 Oct 2007, 16:20

Mes calculs précédents étaient faux,

1 racine donc a+b+1=0

Le polynôme dérivé est: (n+1)ax^n+nbx^(n-1)+1

1 est racine du polynôme dérivé donc

(n+1)a+nb+1=0
a+b+1=0

la résolution du système me donne

b=-n et a=n-1

A bientôt.

rene38
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par rene38 » 05 Oct 2007, 16:32

Bonjour
thomasg a écrit:Le polynôme dérivé est: (n+1)ax^n+nbx^(n-1)+1
Je suis intimement persuadé que non et serais d'accord avec le résultat de guadalix

guadalix
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par guadalix » 05 Oct 2007, 16:34

rene38 a écrit:BonjourJe suis intimement persuadé que non et serais d'accord avec le résultat de guadalix


Merci rene38

pianozik
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par pianozik » 05 Oct 2007, 18:04

bon, tout le monde a trouvé que Image ce qui donne Image . Retour au polynôme. Dans ce cas le polynôme serait égal à
Image
Le deuxième terme c'est une identité remarquable, je crois que vous l'avez en cours, et xImage (si ça ne figure pas au cours, tu peux la démontrer par récurrence)
Donc:
ImageImage
Puisque Image est divisible par Image alors Image est divisible par Image , ce qui fait que Image est encore une racine de ce deuxième polynôme qu'on vient d'obtenir. En remplaçant, on aboutit à Image (on somme Image fois Image )
donc Image
d'où Image

guadalix
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par guadalix » 05 Oct 2007, 18:16

pianozik a écrit:bon, tout le monde a trouvé que Image ce qui donne Image . Retour au polynôme. Dans ce cas le polynôme serait égal à
Image
Le deuxième terme c'est une identité remarquable, je crois que vous l'avez en cours, et xImage (si ça ne figure pas au cours, tu peux la démontrer par récurrence)
Donc:
ImageImage
Puisque Image est divisible par Image alors Image est divisible par Image , ce qui fait que Image est encore une racine de ce deuxième polynôme qu'on vient d'obtenir. En remplaçant, on aboutit à Image (on somme Image fois Image )
donc Image
d'où Image


Trop compliqué

pianozik
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par pianozik » 05 Oct 2007, 18:25

pas du tout, c'est très simple

thomasg
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par thomasg » 06 Oct 2007, 10:52

Mes excuses,

je dois vraiment manquer de pratique pour me tromper sur une dérivée de polynôme.

Pardon.

Laurene123
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par Laurene123 » 06 Oct 2007, 14:54

Je suis un peu (trop) perdu je n'ai pas encore fait dérivées donc je ne comprend rien. A partir de ax(n+1) + bx(n) + 1 et a+b+1=0 comment est-ce que je peux arrivé à a=n?

thomasg
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par thomasg » 06 Oct 2007, 17:00

Pianozik t'a proposé une méthode sans utiliser les dérivées,

tu devrais la relire et demander ce que tu ne comprends pas.

Au revoir.

Laurene123
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par Laurene123 » 07 Oct 2007, 01:18

ok j'ai relu la méthode de pianozik. En fait je comprend pas quel est l'identité remarquable c'est ax^n(x-1)-(x^n-1) ? et comment on arrive à (x-1)(x^(n-1)+ x^(n+2) + ... +1) ?

fahr451
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par fahr451 » 07 Oct 2007, 01:24

bonsoir

j'ai relu ce qu'a écrit pianozik c'était clair



x^n - 1 = (x-1) ( x^(n-1) +...+x^2 +x+1)

qui se démontre en développant le second membre tous les termes s'en vont sauf le premier et le dernier

Laurene123
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par Laurene123 » 07 Oct 2007, 13:45

ahhhh j'ai compris MERCI beaucoup tout le monde (surtout pianozik) :we:

pianozik
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par pianozik » 09 Oct 2007, 00:26

de rien, dsl si je réponds pas des fois, vous comprenez qu'il s'agit des études. Bon courage à tout le monde.

 

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