Topologie !
par barbu23 » 04 Oct 2007, 02:15
C'est ce que j'ai voulu écrire mais j'ai pas su le traduire mathematiquement, ce qui m'a bloqué, c'est que j'ai pensé aux ouverts au lieu de penser aux boules ouverts ... j'ai oublié qu'on est dans un espace vectoriel ...
par fahr451 » 04 Oct 2007, 10:29
bonjour
en réponse à ton message privé
je ne vais pas lire les 11 pages de post
redonne ta question précise avec ce qu'on a déjà démontré.
en réponse à ton message privé
je ne vais pas lire les 11 pages de post
redonne ta question précise avec ce qu'on a déjà démontré.
par legeniedesalpages » 04 Oct 2007, 11:48
Bonjour, je récapitule
voilà l'énoncé:
Soit
un espace vectoriel sur 
de dimension finie muni d'une norme 
. Soit 
une partie non vide et bornée de .
On définit=\sup \{||y-x||:\ x,y\in A\})
.
1) Montrer que si est bornée alors 
et )
sont bornés.
2) Comparer)
, )
, et )
lorsque 
.
3) Montrer que)\leq diam(A))
.
4) Soient
et 
avec 
.
On considère l'ensemble
.
Montrer que
existe.
5) En déduire que toute demi-droite issue d'un point
de coupe .
6) En déduire que)=diam(A))
.
On a planté sur la question 3) et la question 6).
voilà l'énoncé:
Soit
On définit
1) Montrer que si
2) Comparer
3) Montrer que
4) Soient
On considère l'ensemble
Montrer que
5) En déduire que toute demi-droite issue d'un point
6) En déduire que
On a planté sur la question 3) et la question 6).
par legeniedesalpages » 04 Oct 2007, 12:12
pour la 2), on a dit que 
, donc \leq diam(A)\leq diam(\overline{A}))
.
Enfin plus précisément,
on a
,
En considérant l'application\rightarrow ||x-y||)
de \setminus \emptyset)\times (\mathcal{P}(E)\setminus \emptyset))
dans 
, on a
\subset f(A\times A)\subset f(\overline{A}\times \overline{A}))
.
D'où\leq \sup\ f(A\times A)\leq \sup\ f(\overline{A}\times \overline{A}))
.
Enfin plus précisément,
on a
En considérant l'application
D'où
par fahr451 » 04 Oct 2007, 12:16
diam ( A ) = diam (Abarre)
on a clairement une inégalité
pour l'autre
pour epsilon >0
pour x et y dans A barre
il existe x ' et y ' dans A tels que
||x-x'|| < epsilon/2 et ||y-y'||
donc || x-y|| =< || x-x'|| +|| x' -y' || +|| y'-y||
donc || x-y|| < epsilon + diam (A)
valable pour tous x et y donc en passant au sup
diam( A barre) =< diam(A) +epsilon
donc diam(Abarre)=< diam (A)
le 3) en découle
on a clairement une inégalité
pour l'autre
pour epsilon >0
pour x et y dans A barre
il existe x ' et y ' dans A tels que
||x-x'|| < epsilon/2 et ||y-y'||
donc || x-y|| =< || x-x'|| +|| x' -y' || +|| y'-y||
donc || x-y|| < epsilon + diam (A)
valable pour tous x et y donc en passant au sup
diam( A barre) =< diam(A) +epsilon
donc diam(Abarre)=< diam (A)
le 3) en découle
par legeniedesalpages » 04 Oct 2007, 16:01
ok alors pour la question 6), je crois que je peux procéder comme ça:
Soient
. On veut montrer qu'il existe )
tels que 
.
Si
, c'est immédiat.
Si
, on pose 
.
La demi-droite issue de et de vecteur directeur 
coupe d'après 5) la frontière de .
On considère l'ensemble
définit dans 4) associé cette demi-droite.
Notons
la borne supérieure de .
On a
, car =y\in A)
.
Donc
. D'autre part )
, étant donné la résolution de la question 5).
La demi-droite issue de et de vecteur directeur - coupe d'après 5) la frontière de .
On considère l'ensemble
définit dans 4) associé cette demi-droite. Notons 
la borne supérieure de . D'autre part )
.
On a alors
, d'où
-(x-bu)|| = ||(a+b)u|| = (a+b)||u||\geq ||u|| = ||x-y||)
.
Donc)\geq diam(A))
.
Soient
Si
Si
La demi-droite issue de
On considère l'ensemble
Notons
On a
Donc
La demi-droite issue de
On considère l'ensemble
On a alors
Donc
par legeniedesalpages » 05 Oct 2007, 10:48
fahr451 a écrit:kool raoul (je fais une cure de jeunisme sans discernement) !!
par barbu23 » 05 Oct 2007, 19:33
Bonjour :
Soit
.
Définition $)
:
est continue sur 
si et seulement si est continue en chacuns des points 
de .
est continue en 
si et seulement si : ) \hspace{10cm} \exists U \in \upsilon(x) \hspace{10cm} : \hspace{10cm} f(U) \subset V $)
Question :
Montrer , uniquement à l'aide de la définition çi-dessus, que :
est continue sur si et seulement si 
ouvert de 
:  $)
est un ouvert de .
Merci infiniment !!
Soit
Définition
Question :
Montrer , uniquement à l'aide de la définition çi-dessus, que :
Merci infiniment !!
par fahr451 » 05 Oct 2007, 19:49
soit f continue et w un ouvert de F
soit x dans f^(-1)(w) , w est un voisinage de f(x) donc il esite u un voisinage dex tel que f(u) C w donc u C f^(-1)(w)
donc f^(-1)(w) est voisinage de x donc ouvert ( un ouvert est exactement un voisinage de tous ses points)
réciproquement ...
soit x dans f^(-1)(w) , w est un voisinage de f(x) donc il esite u un voisinage dex tel que f(u) C w donc u C f^(-1)(w)
donc f^(-1)(w) est voisinage de x donc ouvert ( un ouvert est exactement un voisinage de tous ses points)
réciproquement ...
par barbu23 » 05 Oct 2007, 19:56
Soit 
un ouvert de .
Alors :
:  $)
 $)
) $)
Par hypothèse :
 \hspace{10cm} : \hspace{10cm} f(U) \subset W_{F} $)
) \subset f^{-1}(W_{F}) $)
 \hspace{10cm} \Longrightarrow \hspace{10cm} \exists W_{E} $)
un ouvert de tel que : 
Par conséquent : $)
CQFD
Alors :
Par hypothèse :
Par conséquent :
CQFD
par fahr451 » 05 Oct 2007, 19:58
on est censé montrer la continuité en x , x quelconque ici
donc partir de x ...
donc partir de x ...
par barbu23 » 05 Oct 2007, 20:11
Pour la reciproque :
Soit.
Soit) $)
un ouvert de tel que :  \in W_{F} \subset F $)
 \subset f^{-1}(V) $)
Par hypothèse : $)
est ouvert de .
Par conséquent : \in \upsilon(x_{0}) $)
et on a : ) \subset V $)
Soit
Soit
Par hypothèse :
Par conséquent :
par barbu23 » 06 Oct 2007, 01:09
Bonsoir :
J'ai lu dans un cours de "geometrie differentielle" que :
Un ouvert non vide de
n'est pas homeomorphe à un ouvert non vide de 
si 
.
Pouvez vous m'expliquer pourquoi ?
C'est juste par curiosité que je lis ce cours là,... il ne fait pas partie du programme scolaire de cette année..! En plus, je l'ai jamais étudié !! voilà .. !
Merci d'avance !!
J'ai lu dans un cours de "geometrie differentielle" que :
Un ouvert non vide de
Pouvez vous m'expliquer pourquoi ?
C'est juste par curiosité que je lis ce cours là,... il ne fait pas partie du programme scolaire de cette année..! En plus, je l'ai jamais étudié !! voilà .. !
Merci d'avance !!
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