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barbu23
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par barbu23 » 04 Oct 2007, 01:15
C'est ce que j'ai voulu écrire mais j'ai pas su le traduire mathematiquement, ce qui m'a bloqué, c'est que j'ai pensé aux ouverts au lieu de penser aux boules ouverts ... j'ai oublié qu'on est dans un espace vectoriel ...
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barbu23
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par barbu23 » 04 Oct 2007, 01:16
Il reste une dernière question :
 $)
En déduire que :
 = diam(A) $)
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fahr451
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par fahr451 » 04 Oct 2007, 09:29
bonjour
en réponse à ton message privé
je ne vais pas lire les 11 pages de post
redonne ta question précise avec ce qu'on a déjà démontré.
par legeniedesalpages » 04 Oct 2007, 10:48
Bonjour, je récapitule
voilà l'énoncé:
Soit

un espace vectoriel sur

de dimension finie muni d'une norme

. Soit

une partie non vide et bornée de

.
On définit
=\sup \{||y-x||:\ x,y\in A\})
.
1) Montrer que si

est bornée alors

et
)
sont bornés.
2) Comparer
)
,
)
, et
)
lorsque

.
3) Montrer que
)\leq diam(A))
.
4) Soient

et

avec

.
On considère l'ensemble

.
Montrer que

existe.
5) En déduire que toute demi-droite issue d'un point

de

coupe
)
.
6) En déduire que
)=diam(A))
.
On a planté sur la question 3) et la question 6).
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fahr451
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par fahr451 » 04 Oct 2007, 10:54
bien bien
zavémarkékoi à la 2 ?
par legeniedesalpages » 04 Oct 2007, 11:12
pour la 2), on a dit que

, donc
\leq diam(A)\leq diam(\overline{A}))
.
Enfin plus précisément,
on a

,
En considérant l'application
\rightarrow ||x-y||)
de
\setminus \emptyset)\times (\mathcal{P}(E)\setminus \emptyset))
dans

, on a
\subset f(A\times A)\subset f(\overline{A}\times \overline{A}))
.
D'où
\leq \sup\ f(A\times A)\leq \sup\ f(\overline{A}\times \overline{A}))
.
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fahr451
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par fahr451 » 04 Oct 2007, 11:16
diam ( A ) = diam (Abarre)
on a clairement une inégalité
pour l'autre
pour epsilon >0
pour x et y dans A barre
il existe x ' et y ' dans A tels que
||x-x'|| < epsilon/2 et ||y-y'||
donc || x-y|| =< || x-x'|| +|| x' -y' || +|| y'-y||
donc || x-y|| < epsilon + diam (A)
valable pour tous x et y donc en passant au sup
diam( A barre) =< diam(A) +epsilon
donc diam(Abarre)=< diam (A)
le 3) en découle
par legeniedesalpages » 04 Oct 2007, 15:01
ok alors pour la question 6), je crois que je peux procéder comme ça:
Soient

. On veut montrer qu'il existe
)
tels que

.
Si

, c'est immédiat.
Si

, on pose

.
La demi-droite issue de

et de vecteur directeur

coupe d'après 5) la frontière de

.
On considère l'ensemble

définit dans 4) associé cette demi-droite.
Notons

la borne supérieure de

.
On a

, car
=y\in A)
.
Donc

. D'autre part
)
, étant donné la résolution de la question 5).
La demi-droite issue de

et de vecteur directeur -

coupe d'après 5) la frontière de

.
On considère l'ensemble

définit dans 4) associé cette demi-droite. Notons

la borne supérieure de

. D'autre part
)
.
On a alors

, d'où
-(x-bu)|| = ||(a+b)u|| = (a+b)||u||\geq ||u|| = ||x-y||)
.
Donc
)\geq diam(A))
.
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fahr451
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par fahr451 » 04 Oct 2007, 15:25
kool raoul (je fais une cure de jeunisme sans discernement) !!
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barbu23
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par barbu23 » 04 Oct 2007, 16:35
Bravo ! :++:
par legeniedesalpages » 05 Oct 2007, 09:48
fahr451 a écrit:kool raoul (je fais une cure de jeunisme sans discernement) !!

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barbu23
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par barbu23 » 05 Oct 2007, 18:33
Bonjour :
Soit

.
Définition
:
est continue sur

si et seulement si

est continue en chacuns des points

de

.

est continue en

si et seulement si :
Question :Montrer , uniquement à l'aide de la définition çi-dessus, que :

est continue sur

si et seulement si

ouvert de

:
 $)
est un ouvert de

.
Merci infiniment !!
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fahr451
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par fahr451 » 05 Oct 2007, 18:49
soit f continue et w un ouvert de F
soit x dans f^(-1)(w) , w est un voisinage de f(x) donc il esite u un voisinage dex tel que f(u) C w donc u C f^(-1)(w)
donc f^(-1)(w) est voisinage de x donc ouvert ( un ouvert est exactement un voisinage de tous ses points)
réciproquement ...
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barbu23
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par barbu23 » 05 Oct 2007, 18:56
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fahr451
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par fahr451 » 05 Oct 2007, 18:58
on est censé montrer la continuité en x , x quelconque ici
donc partir de x ...
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barbu23
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par barbu23 » 05 Oct 2007, 19:00
oui, tu as raison, merci "fahr451" !
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barbu23
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par barbu23 » 05 Oct 2007, 19:11
Pour la reciproque :
Soit

.
Soit
) $)


un ouvert de

tel que :
 \in W_{F} \subset F $)

 \subset f^{-1}(V) $)
Par hypothèse :
 $)
est ouvert de

.
Par conséquent :
 \in \upsilon(x_{0}) $)
et on a :
) \subset V $)
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barbu23
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par barbu23 » 06 Oct 2007, 00:09
Bonsoir :
J'ai lu dans un cours de "geometrie differentielle" que :
Un ouvert non vide de

n'est pas homeomorphe à un ouvert non vide de

si

.
Pouvez vous m'expliquer pourquoi ?
C'est juste par curiosité que je lis ce cours là,... il ne fait pas partie du programme scolaire de cette année..! En plus, je l'ai jamais étudié !! voilà .. !
Merci d'avance !!
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barbu23
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par barbu23 » 06 Oct 2007, 14:53
personne ne connait la reponse ?!
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