[Terminal S][Suites adjacentes][Pour samedi]

[Mallor]

Bonjour, j'ai un DM assez compliqué pour vendredi (le second de l'année, je n'ai guère eu de problème sur le premier mais cette fois ci je bloque) :

Enoncé : On note, pour tout n plus grand ou égale à 1 : Un = 1 + 1/2² + 1/3² + 1/4² + ... + 1/n²
1) Montrer que cette suite est croissante (réussi, aucun problème)

2) Montrer que, pour tout K plus grand ou égale à 2, 1/k² plus petit ou égale à [1/(k-1)] - 1/k (réussi)

En sommant ces innégalités membre à membre pour 2 plus petit ou égale à k lui même plus petit ou égale à n, montrer que la suite (Un) est majorée par 2. (Je bloque ici)

3) Justifier que la suite (Un) converge; démontrer par l'absurde que sa limite est inférieur ou égale à2.
NB : On admet le résultat suivant : la limite de la suite (Un) vaut pie²/6.

Merci d'avance, j'y retourne :/

[guadalix]

2)

sum(1/k^2,2,n)<= sum(1/(k-1),2,n)-sum(1/k,2,n)=sum(1/k,1;n-1)-sum(1/k,2,n)

telescopage==> sum(1/k^2,2,n)<=1-1/n
un=1+sum(1/k^2,2,n) donc

un<=2-1/n<=2 car n>0.

3) t'as normalement demontré que (un) croissante
comme un est majoré par 2, d'apres le théoreme de la limite monotone, (un) converge.

[Mallor]

Ok je n'ai pas totalement compris ta réponse mais j'ai quand même réussi le début : donc j'ai fait la somme de 1/k² > 1/k-1 - 1/k
et donc on trouve Un - 1 = 1 - 1/n. Par contre je n'arrive pas à en déduire que Un est majoré par 2.

[guadalix]

Pour avoir un tu ajoute 1 de chaque coté... et apres t'enleve le -1/n voila donc un<=2!

[Mallor]

Oki merci je m'attaque au raisonnement par l'absurde !