Propriétés ensembliste

[Ptah Sokar]

Bonjour à tous !

J'ai un petit exercice simple à première vue mais sur lequel, une question me pose légèrement problème :

On a X et Y deux ensembles, f : X -> Y une application, () et ( ) deux familles de X et Y respectivement.

J'ai tout d'abord réussi à montrer ceci :
-1 l'image de la réunion des Ai = la réunion des images des Ai
-2 l'image de l'intersection des Ai est incluse dans l'intersection des images des Ai
-3 l'image réciproque de l'intersection des Bi = l'intersection des images réciproques des Bi
-4 l'image réciproque de la réunion des Bi = la réunion des images réciproques des Bi
-5 l'image réciproque du complémentaire de B = complémentaire de l'image réciproque de B

Seulement ensuite on me demande de donner un exemple pour lequel l'inclusion du -5 est stricte. J'ai tout d'abord essayer pas mal d'exemples en voyant que c'est bien égal, et je ne vois pas comment trouver un exemple puisque j'ai démontré cette égalité...

La question d'après étant " Que devient cette inclusion lorsque f est injective ? " faut il trouver un exemple pour lequel f est surjective ? Je ne vois vraiment pas...

Merci à tous !!

[alben]

Bonjour,
J'imagine qu'il s'agit de l'inclusion du 2 et non du 5.
Pour qu'elle soit stricte, il faut qu'il existe un y tel que
Il suffit de choisir un x qui soit dans tous les Ai sauf un (Ao par exemple) et dans Ao un x' tel que y=f(x')=f(x) et qu'il y ait au moins un des Ai ne contenant pas x'.
Il faut aussi que ton y ne soit pas atteint par un x" qui serait dans l'intersection...

[Ptah Sokar]

J'ai beau chercher je n'arrive pas à trouver un exemple concret qui vérifie ces hypothèses :s

[B_J]

Salut ;
prendre f(x)=x^2 , A_1=[-1,0] et A_2=[0,1]
alors A_1 inter A_2={0} et f({0})={0}
f(A_1)=f(A_2)=[0,1] => f(A_1) inter f(A_2)=[0,1]