Fonctions continues

par **Polly** » 01 Oct 2007, 14:41

Bonjour,

Je cherche à montrer que :
Si une fonction dans R est continue sur un intervalle [a,b] (a
Dans le cas où f est constante, c'est évident.
Dans le cas où elle ne l'est pas, je sais que f va être croissante et décroissante au moins une fois. Donc (en imaginant une courbe qcq) jvois bien que c et d existe. Mais je n'arrive pas à l'expliquer...

Merci beaucoup de m'aider !

par **fahr451** » 01 Oct 2007, 14:49

bonjour

f ( [a,b])= [m,M]

on suppose f non constante

donc m
et quitte à changer f en -f on suppose que f(b) = f (a) < M

il existe e dans ]a,b[ tel que M = f(e)

toute valeur entre f(a) et M est atteinte entre a et e et entre e et b
rem il est faux de croire que la fonction sera nécessairement monotone sur certains intervalles

par **Polly** » 01 Oct 2007, 15:00

fahr451 a écrit:
rem il est faux de croire que la fonction sera nécessairement monotone sur certains intervalles

Merci!

Pquoi la fonction ne sera pas nécessairement monotone sur certains intervalles ? Peux tu me donner un exemple ?

par **quinto** » 01 Oct 2007, 15:10

Polly a écrit:Merci!

Pquoi la fonction ne sera pas nécessairement monotone sur certains intervalles ? Peux tu me donner un exemple ?

Il existe des fonctions monotones sur aucun intervalles.
La raison est plutôt "simple" et est une conséquence du théorème de Baire.
Si c'était le cas, l'ensemble des fonctions continues serait l'union dénombrable de certains fermés d'intérieurs vides, ce qui est impossible.

par **Polly** » 01 Oct 2007, 15:22

Bonjour Quinto!

Merci!
Tu n'as pas un exemple pour illustrer , stp ?

par **akos** » 01 Oct 2007, 18:54

la fonction caractéristique des rationnels, me semble-t-il.

edit : boups, elle n'est pas continue.

par **fahr451** » 01 Oct 2007, 19:06

la fonction distance à l'ensemble triadique de cantor

par **quinto** » 06 Oct 2007, 00:11

fahr451 a écrit:la fonction distance à l'ensemble triadique de cantor

Je ne pense pas ...

L'ensemble de Cantor est compact et totalement disconnexe. Notamment son complémentaire est une réunion d'intervalles ouverts non vides. Si l'on se restreint à [0,1] et que l'on divise en 2 chacun des intervalles et que l'on prend deux points x et y dans la même "moitié" et xf(y) dans l'autre moitié.

Ainsi, la fonction est monotone sur chacune des "moitié" des intervalles que forment le complémentaire de l'ensemble de Cantor.

Je ne pense pas qu'il soit trivial d'exhiber une telle fonction.

par **fahr451** » 06 Oct 2007, 07:32

j'ai déraillé en effet

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