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[belgarath]

Bonsoir à tous!

Je galère sur un DM de maths et le cours de notre prof n'est vraiment pas clair sur cette partie... Bref voici l'énoncé de l'exo :

Les apllications suivantes sont-elles injectives? surjectives? bijectives?

(1) f : R -> R2 R est l'ensemble des réels
x -> (x+1 ; x-1)

(2) f : R3 -> R2
(x ; y ; z) -> (x+2y ; 3x -z)

(3) f : R2 -> R2
(x ; y) -> (x +2y ; x-y)

Tout d'abord, je n'arrive pas à montrer (je veux dire, la façon de démontrer) l'injection et la surjection (puisque la bijection est quand l'application est injective et surjective).

J'ai réussi à montrer pour la (1) qu'elle est injective :

Supposons qu'il existe a et b appartiennent à R (l'ensemble des réels ) tels que f(a)=f(b)

Cela implique a+1=b+1 et a-1=b-1 et donc a=b

Donc f est injective.

Mais comment montrer qu'elle est surjective (ou qu'elle ne l'est pas?)?

De plus pour la (2), j'ai bien cherché, mais je ne vois vraiment pas...

Merci pour vorte aide!

[khivapia]

pour montrer qu'une application n'est pas surjective, il faut trouver un contre-exemple (en général simple). En cherchant un antécédent on tombe sur une contradiction...

Pour la 2, elle est surjective mais pas injective. Pour montrer qu'elle n'est pas injective, trouve deux exemples de triplets qui ont même image (par exemple en prenant (0,0,0) et en cherchant y et z tels que (0,y,z) ait la même image que (0,0,0) et que y ou z ne soit pas nul.
Pour la surjectivité : il faut prendre 2 réels et construire un antécédent, on peut chercher de même un antécédent sous la forme (0,y,z)... Cela ramène à un système de deux équations à deux inconnues.

Même principe pour la 3, qui est certainement bijective.

Bonne soirée.

[belgarath]

Pour la (2), j'ai trouvé un contre exemple avec les couples (0;0;0) et (2;-1;6). On a donc f(x1;y1;z1)=f(x2;y2;z2) mais (x1;y1;z1) est bien différent de (x2;y2;z2)! Donc f n'est pas injective.
Mais pour la surjectivité, si je prend comme couple (0;y;z) j'obtiens le système suivant : a=2y et b=z ... Mon problème commence là... Que faire ensuite :pi:

[belgarath]

suffit-il de dire que là y=a/2 et z=b ? Comme on travaille dans R (l'ensemble des réels et a€R et b€R) cela est toujours vérifié et donc f est surjective?

[belgarath]

Voilà, j'ai provué pour la (3) qu'elle est injective mais je n'arrive toujours pas pour la surjectivité... :help:

[belgarath]

non pas d'idée? arf! désolé je suis trop préssé! :lol2:

[Chimerade]

Voilà, j'ai provué pour la (3) qu'elle est injective mais je n'arrive toujours pas pour la surjectivité... :help:

Je ne vois pas où est le problème ! Pour montrer la surjectivité, il suffit de vérifier que le point (a;b) est atteint au moins une fois quel que soient a et b.

Donc voir si le système suivant admet toujours une solution :

x+2y=a
x-y=b

Il est évident que x=(a+2b)/3 et y=(a-b)/3 fournit toujours une solution.
f est donc surjective !

[khivapia]

suffit-il de dire que là y=a/2 et z=b ? Comme on travaille dans R (l'ensemble des réels et a€R et b€R) cela est toujours vérifié et donc f est surjective?

Oui !

Cordialement

[belgarath]

C'est parfais, j'ai tout trouvé! merci beaucoup pour l'aide! :+++: