DM suites. Ne comprends pas

[Rose77]

Bonjour,

J'ai un devoir à faire qui me pose bien des problèmes. Il est pour Lundi (demain) et j'ai encore plein de devoir à faire, dont un DM de physique chimie qui est plus de mon niveau !!

Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel n par :

u0= 1/2 et un+1= 1/2*(un+2/un)

1.a) Soit f la fonction définie sur ]0;+infini[ par :

f(x) = 1/2 * (x+2/x)

Etudier le sens de variation de f et tracer sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal (O,i,j ). (On prendra comme unité 2 cm)

J'ai trouvé la fonction était décroissante sur ]0;racine 2] et croissante sur [2; +infini[

b) Utiliser le graphique précédent pour construire les points A0, A1, A2 et A3 de l'axe (O,i) d'abscisse respectives u0, u1, u2 et u3.

2.a) Montrer que, pour tout entier naturel n non nul : un supérieur ou égale à racine de 2

Je pensais partir sur un raisonnement par recurrence, en expliquant que comme la fonction f(x) est minorée par 2 alors un2. Mais je sais pas j'ai l'impression de rien prouver...

b) Montrer que, pour tout x supérieur ou égale à racine 2, f(x) inférieur ou égale à x.

Je n'ai vraiment aucune idée pour comment montrer cela.

c) En déduire que la suite (un) est décroissante à partir du range 1

Je comprends pas cette question, moi je trouve que la fonction est croissante à partir de racine de 2. Qu'est ce que je n'ai pas compris...??

d) Prouver qu'elle converge.

3) Soit l la limite de la suite (un). Montrer que l est solution de l'équation :

x= 1/2 * (x+2/x)

En déduire sa valeur.


Je suis bloquée dès le début et j'arrive pas à comprendre. Toute ces histoires de suites, de fonctions, de limites ça me dépasse. S'il vous plait aider moi. Même un tout petit peu ça m'épargnera une nouvelle nuit blanche à bosser les maths !

Merci d'avance.

Rose77.

[uztop]

Salut,

La réponse à la première question est fausse.
Est ce que tu as calculé la dérivée de f ?

[Rose77]

oui j'ai calculé la dérivé, et étudier son signe.
J'ai trouvé que f'(x) = (x^2 _ 2) / 2x^2

[uztop]

Comment est ce que arrives à ça ?

(u/v)' = (u'v-v'u) /v²
Est ce que tu peux détailler tes calculs ?

[Rose77]

J'ai développé :

f(x) =1/2*x + 1/2*2/x
f(x)= 1/2*x + 1/x

J'ai mis le tout sur le même dénominateur

F(x) = (x^2 + 2) /2x

donc c'est de la forme u/v et donc la dérivée est u'v-uv' / v^2

f'(x) =(2x*2x -(x^2+2)*2)/(2x)^2
f'(x) = (4x^2- 2x^2-4)/4x^2
f'(x) = (2(x^2-2))/2*2x^2
f'(x)= (x^2-2)/2x^2

et après j'ai étudié le signe.

x^2-2=0
x= racine de 2 ou x= - racine de 2

Or fonction définie sur ]0,+l'infini[ x= racine de 2

f'(x) négatif sur ]o, racine de 2] et f'(x) positif sur [racine de 2, + l'infini [

Voila ce que j'avais fais.

[Rose77]

Aider moi s'il vous plait