Exercice sur fonction sinus

[kokkok]

bonjour
je calle sur un dm de maths sur les limites merci de bien vouloir m'aider:

on se propose de demontrer que limite quand x tend vers 0 de sinx/x=1
1.soit la fonction f définie sur [0;+[smb]infini[/smb][ par f(x)= sinx-x
- etudier f , calculer f(0) et en déduire le signe de f(x)

2. même question pour sin(x)-x+ x^3/6

3. en déduire un encadrement de sinx/x sur [0;+[smb]infini[/smb][ puis lim quand x-->0 avec x>0 de sinx/x

4. en etudiant la parite de la fonction x---> sinx/x ; determiner la lim quand x--->0 avec x+[smb]infini[/smb] lim x----> +[smb]infini[/smb] cos x = l avec l [-1;1]
lim x ----> +[smb]infini[/smb] -x = -[smb]infini[/smb]

donc d'apres le theoremes des limites lim f(x) quand x----> +[smb]infini[/smb]=-[smb]infini[/smb]

donc f est negative

2. g(x) = sinx-x+x^3/6 sur [0;+[smb]infini[/smb][
g'(x)= cosx-1+1/6*3x^2= cos x +1/2*x^2-1

g(0)=sin 0 -0 +0/6 =0

g'(x) est toujours positive donc g(x) est croissante
cosx [smb]appartient[/smb][-1;1]
cosx-1 [smb]appartient[/smb] [-2;0]

3.sinx-x 0 sin-x/sin-x+x^3/6=1

4. f(-x) = sin(-x)/-x= -sinx/-x = f(x) donc f(x) est paire

lim x--->0 avec x0 avec x>0 sinx/x car c'est une fonction paire.

5. donc lim x--->0 sinx/x =1

merci d'avance