Application linéaire

[kaito974]

Bonjour a tous, voila je bloc sur l'éxo suivant:
Soient E un K-ev de dimension n ,f et g deux endomorphismes de E

On suppose f+g inversible et fog =0 montrer que rgf+ rgg=n

J'ai tout d'abord pensé au théoréme du rang car g est inclu dans ker de f mais je n'arrive pas a poursuivre

[abcd22]

Bonsoir,
Je pense que le plus rapide est de le faire en montrant les 2 inégalités rg f + rg g ;) n et rg f + rg g ;) n.
Pour la première on utilise la première hypothèse et pour la 2e inégalité la seconde hypothèse et le théorème du rang : Im g inclus dans Ker f implique une inégalité sur les dimensions...

[kaito974]

j'ai bien reussi à prouver rg f + rg g ;) n.

néanmoins pour rg f + rg g ;) n je vois mal comment utiliser f+g inversible...
Est ce que le fait f+g soit inversible implique que le rang(f+g) soit supérieur ou égal à n ??

[fahr451]

bonjour


Im (f+g) C Im f +Img

rg (f+g) = dim Im (f+g) =< rg f +rg g
f+g inversible donc bijectif donc son rang est n