Calcul de e

[bbon]

Salut à tous,

Demain je dois rendre un devoir de maths pour demain et je fais quelques blocages. :cry:

1.
j'ai k/n² >= ln (1 + k/n²) >= (k/n²) -(k²/2n^4)

Je voudrais savoir ce que je dois marquer (car à mon avis on ne peut pas le faire sans justification) avant de "sommer" c est a dire écrire que la somme de k=1 à n du premier membre de l'inégalité est >= à la somme du seconde >= à la somme du troisieme.

2.

Je dois démontrer que e = lim(1+ 1/n)^n (n tendant vers l'infini)
Je sais que ça a été démontré par euler mais je ne trouve pas la démonstration.
Ce serait sympa de me guider vers celle-ci.


Merci d'avance pour vos réponses, ça m'aidera beaucoup.

à bientôt :happy2:

[guadalix]

salut

pour la première question, je crois que tu peux ecrire directement la somme, sans trop de pb.

Pour la deuxieme, c pas trop dur... suffit d'ecrire:
(1+1/n)^n=exp(n*ln(1+1/n))

ensuite tu fais un DL d'ordre 1 de ln(1+1/n) au voisinage de l'infini:
ln(1+1/n)= 1/n +o(1/n)

ensuite tu ecris:
exp(n*ln(1+1/n))=exp(1+o(1))

tu passe à la limite donc:

(1+1/n)^n-> e

CQFD

[bbon]

Merci, je vais essayer d'écrire cette démonstration.

[bbon]

J'ai bien compris la démonstration merci.

Vous pensez que ca peut suffire à l'ordre 1?

[guadalix]

largement... c un exercice que j'ai eu en colle de math...j'avoue je savais pas le faire sur le coup :ptdr:

[bbon]

ah ok merci.

J'avais aussi pensé à utiliser ca mais je sais pas si c'est bon:

on sait que lim en zero de : ln(1+x) / x est 1

en posant x = 1 /n

On obtient
lim qd n_>infini de ln(1 + 1/n)^n = 1

ensuite passer tout ca a l exponentielle mais je ne suis sur de rien.

[guadalix]

ça n'a pas l'air bête du tout ce que t'as fait, au contraire. Mais la première méthode est plus sur, surtout si en ce moment tu étudie les DL...