bonjour , j'aimerais un peu d'aide de votre part pour cette démontrer ceci :
f étant une application de E dans F et A et B deux éléments de P(E)
f est injective équivaut a quelquesoit (A,B)P(E)² , f(AinterB)=F(A)interF(B)
Merci pour vos futures indications
Notion d'ensembles
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par Tomy » 11 Sep 2005, 20:13
Bonsoir,
Supposons d'abord f injective,
Soient)
. Montrons que  = f(A) \cap f(B))
par double inclusion.
_ Soit)
, soit )
donc  \in f(A))
De même donc  \in f(B))
et donc \cap f(B) \Longrightarrow f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B))
_ Soit \cap f(B))
. Comme )
, on écrit )
.
De même, on écrit)
Comme f est injective et que f(x) = f(x'),
Donc \in f(A \cap B) \Longrightarrow f(A) \cap f(B) \subset f(A \cap B))
.
Donc: si f est injective, alors .
Montrons l'autre sens maintenant :p
Supposons que, f(A \cap B) = f(A) \cap f(B))
Soient = f(y))
On a f({x}) = f({y}) = {f(x)}
Donc f({x})
f({y}) = {f(x)} = f({x} {y})
Donc f({x} {y}) 
0 et donc {x} {y} 
et x = y
Conclusion: f est injective, f(A \cap B) = f(A) \cap f(B))
.
Voila j'espère que ça sera assez clair.
Supposons d'abord f injective,
Soient
_ Soit
De même
et donc
_ Soit
De même, on écrit
Comme f est injective et que f(x) = f(x'),
Donc
Donc: si f est injective, alors
Montrons l'autre sens maintenant :p
Supposons que
Soient
On a f({x}) = f({y}) = {f(x)}
Donc f({x})
Donc f({x}
Conclusion: f est injective
Voila j'espère que ça sera assez clair.
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