Problème de réccurence !!

[julian59]

Bonjour j'ai un probléme avec la récurrence je n'arrive pas à la faire :(:(

J'ai U0 = 3 et U(n+1) = 2 / (1 + Un) , je dois démontrer que tout les termes de cette suite sont positifs.

J'ai donc en tête la récurrence , avec l'initialisation et l'hérédité ,

j'ai trouvé pour l'initialisation ceci :

U0 = 3 donc U0 > 0

et U1 = 1/2 donc U1 > 0

Et U0 > U1 > 0

mais pour l'hérédité je ne sais pas comment commencer :cry:

( du moins est ce que j'ai bon déja pour l'initialisation??)

Merci d'avance
aider moi à comprendre

Julian

[nmantelier]

J'ai U0 = 3 et U(n+1) = 2 / (1 + Un) , je dois démontrer que tout les termes de cette suite sont positifs.

on va partir de l'hypothese que u(n+1) est possitif
u(n+1)>0 implique que 2/(1+un) >0
ceci est vrai si Un > 0 et puisque U0 > 0 on en deduit donc que U1 U2 .. Un sont suppérieur a 0

[julian59]

Donc l'hérédité reviends à : (pour tout n différent de - 1)

Supposon U(n+1) > 0

Si on a U(n+1) > 0 cela signifie que 'lon a de même ( en vu de la suite récurrence) 2 / (1 + Un) > 0

OK

Mais , d'aprés mon professeur, je dois normalement, compléter un peu cette réponse, comment puis-jecompléter au mieu celle-ci, il ma notamment demander de bien préciser mes calculs et les phrases typique de la méthode par "Réccurence", serais-tu capable d eme montrer ce qu'est une méthode dites "complète"( :++: :help: :we: ?

Merci d'avance

[apmne]

salut

on doit verifier que c'est vrai pour le rang n=1
en effet U0=3>0 ==> 2/(1+U0)=2/4=1/2>0 ==> U1>0

on suppose que c'est vrai au rang n ==> on suppose que Un>0.

on a alors:

1+ Un >0 et comme 2>0 ==> 2/(1+Un) >0 soit que Un+1 >0

donc tous les termes de cette suite (Un) sont positifs.

[nmantelier]

ca remonte a loin mais je peu essayer de détailler comme je l'aurais fait mais savoir si c'est comme cela ?

supposons que Un > 0
alors U(n+1) est > 0 puisque (1+Un) > 0 et donc 2/(1+Un) > 0
si c'est vrai pour Un alors c'est vrai pour Un+1
si on pause n = 0 on a U0 > 0 on sais que c'est juste
et par recurence on a donc Un+1 > 0

:briques: je m'embrouille mais bref l'idée est la et qqn va surment te donner un exemple type