Géométrie : Aires

par **lisou** » 23 Sep 2007, 14:59

Bonjour, voilà je suis élève de seconde et j'ai un problème avec un exercice, je ne sais absolument pas par ou commencer, je ne comprends rien à l'exercice, j'aurai besoin d'une aide s'il vous plaît. Voici l'énoncé :

ABCD est un trapèze de bases [AB]et [CD]. On note h sa hauteur. Le point A' est le projeté orthogonal du point A sur la diagonale [BD] et le point B' est le projeté orthogonal du point B sur la diagonale [AC].

1) démontrer que :
a) AB x h = BD x AA'
b) AB x h = AC x BB'
2) en déduire que : BD/AC = BB'/AA'

Merci à vous d'avance.

par **Flodelarab** » 23 Sep 2007, 15:34

Effectivement, c'est un joli problème où il faut réfléchir.
La solution ne saute vraiment pas aux yeux.

Utilise les aires.
Calcule l'aire du trapèze de 2 façons. (formule classique et somme des triangles)
Tu égales les 2 expressions. Quelque chose va se simplifier.
Puis tu conclus.

Même raisonnement pour la 2eme expression à démontrer.

par **lisou** » 23 Sep 2007, 15:38

Le seul problème c'est que l'on a pas de valeurs pour les côtés du trapèze ! Comment faire ??

Lisou

par **Flodelarab** » 23 Sep 2007, 15:45

lisou a écrit:Le seul problème c'est que l'on a pas de valeurs pour les côtés du trapèze ! Comment faire ??

Lisou

Travailles sans valeurs.
les longueurs auront toujours des noms.

par **lisou** » 23 Sep 2007, 15:53

Oui mais comment faire pour calculer l'aire des triangles ?? Il manque un nom pour le point de l'intersection des 2 diagonales .

Merci déjà de m'aider .

par **Flodelarab** » 23 Sep 2007, 15:55

lisou a écrit:Oui mais comment faire pour calculer l'aire des triangles ?? Il manque un nom pour le point de l'intersection des 2 diagonales .

Merci déjà de m'aider .

As tu besoin du point d'intersection des 2 diagonales ?

par **lisou** » 23 Sep 2007, 15:58

En fait je ne sais pas du tout comment calculer l'aire des triangles a partir de se que l'on a .

par **Flodelarab** » 23 Sep 2007, 16:04

lisou a écrit:En fait je ne sais pas du tout comment calculer l'aire des triangles a partir de se que l'on a .

Quelle est l'aire d'un triangle ?

par **lisou** » 23 Sep 2007, 16:07

b*h/2 mais quelle base doit je prendre et quels sont les triangles que je dois selectionner ?

par **Flodelarab** » 23 Sep 2007, 16:14

lisou a écrit:b*h/2 mais quelle base doit je prendre et quels sont les triangles que je dois selectionner ?

A ton avis ?
Ya pas des milliards de triangles possibles

par **lisou** » 23 Sep 2007, 16:18

Je pense qu'il faut calculer ABD, BB'C, mais après, je sais plus.

par **lisou** » 23 Sep 2007, 16:28

A moins que ça soit ABD et BCD, car la hauteur de ABD est AA' et la hauteur de BCD est h donc ça ferai :

BD * AA'/2 + DC * h/2 n'est ce pas ?

par **Dasson** » 23 Sep 2007, 16:55

1a
Considérer le triangle ABD.
En se "basant" sur [AB], la hauteur correspndante est h donc l'aire de ABD est AB*h/2.
En se "basant" sur [BD], la hauteur correspndante est ... donc l'aire de ABD est ...

par **lisou** » 23 Sep 2007, 16:59

merci quand même mais je viens de résoudre la première partie de cet exercice il me manque plus que la question 2 quelqu'un pourrait-il m'aider ?

par **Dasson** » 23 Sep 2007, 17:14

Dans l'énoncé de la question 2, il est écrit "En déduire".
Une vieille histoire de produits en croix ?

par **lisou** » 23 Sep 2007, 17:39

Oui c'est à dire que j'ai écrit cela dans la première question :

1)
a) On cherche à calculer l'aire d'un trapèze ABCD pour démontrer cette égalité, on peut la calculer de deux manières,

première méthode :

h(AB + DC)/2 = AB*h/2 +DC*h/2

ou bien on peut calculer l'aire des triangles qui le compose, c'est à dire ABD et BCD, deuxième méthode :

BD*AA'/2 + DC*h/2

donc :

AB*h/2 + DC*h/2 = BD*AA'/2 + DC*h/2
AB*h/2 + DC*h/2 - DC*h/2 = BD*AA'/2
AB*h/2 = BD*AA'/2
AB*h = BD*AA'

b) On cherche à calculer l'aire d'un trapèze ABCD pour démontrer cette égalité, on peut la calculer de deux manières,

première méthode :

h(AB + DC)/2 = AB*h/2 +DC*h/2

ou bien on peut calculer l'aire des triangles qui le compose, c'est à dire ACD et ABC, deuxième méthode :

DC*h/2 + AC*BB'/2

donc :

AB*h/2 + DC*h/2 = DC*h/2 + AC*BB'/2
AB*h/2 + DC*h/2 - DC*h/2 = AC*BB'/2
AB*h/2 = AC*BB'/2
AB*h = AC*BB'

2)
AB*h = BD*AA'
AB*h = AC*BB'
BD*AA' = AC*BB'

Voilà, j'ai démontré jusque là, après, je ne sais plus comment faut-il faire, peut-on m'aider ?

Merci, Lisou

par **Dasson** » 23 Sep 2007, 18:03

1
Considérer plus simplement des aires de triangle.
a
En exprimant de deux façons l'aire de ABD comme expliqué dans ma réponse précédente :
AB*h=BD*AA'.
b
De même, en exprimant de deux façons l'aire de ABC :
AB*h=AC*BD.
2
On déduit des deux égalités précédentes que
BD*AA'=AC*BB'
Equivalent à
BD/AC=BB'/AA' (égélité des produits en croix...).

par **lisou** » 23 Sep 2007, 18:11

Merci Beaucoup :happy2:

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