Question topologie

par **ClaireD** » 23 Sep 2007, 15:51

Bonjour,
je suis étudiante en 3ème année de maths et je me pose une question :

soit f une fonction bornée sur [a,b].
soit E l'ensemble de ses points de discontinuités.

w(f,x)= inf delta>0 { sup(f(y)) - inf(f(y)),ydans[a,b] : |x-y|
on appelle w(f,x) l'oscillation de f en x dans [a,b]

on veut montrer que pour §>0 E§ = { x tel que w(f,x) >= § } est un fermé.

j'avais pensé à utiliser le théorème : "toute image reciproque d'un fermé par une fonction continue f est un fermé"
Seulement je n'arrive pas à montrer que w est continue...c'est cela qui me gène...c'est surement tout bete.... je dois trop me compliquer
Si vous avez des suggestions n'hesitez pas
Merci,
Claire.

par **barbu23** » 23 Sep 2007, 17:04

Bonjour:
On a :

:

est un fermé .
Oui, on peut poser :

c'est quoi c'est

?

par **ClaireD** » 24 Sep 2007, 15:51

[quote="barbu23"]Bonjour:
On a :

:

est un fermé .
Oui, on peut poser :
[TEX]$\ w \hspace{10cm} : \hspace{10cm} x \longrightarrow w(f,x) = \displaystyle \inf_{\hspace{10cm} \delta > 0 \\ y \in [a,b] } \{ \hspace{10cm} \sup(f(y)) - \inf(f(y)) \hspace{10cm} / \hspace{10cm} \| x-y \| 0} meme si l'on ne sait pas si f est continue, peut-on tout de meme montrer que x->w(f,x) est continue ?....sinon j'ai pensé à prouver que E§ est fermé avec la caractérisation des suites mais c'est plus long et plus compliqué....

par **yos** » 24 Sep 2007, 17:36

Je pense pas que

soit continue. Imagine une fonction f avec un seul point de discontinuité a, tu as

et

pour

.
Une preuve directe s'impose ici.

par **legeniedesalpages** » 24 Sep 2007, 23:31

Bonsoir,

on peut peut-être montrer que toute suite convergente

de points de

a sa limite dans

.
A voir. :hein:

par **ClaireD** » 25 Sep 2007, 02:08

effectivement , j'ai rédigé une réponse en essayant de montrer que toute suite convergente de E$ converge dans E$....mais disons que c'est plus difficile à écrire correctement les choses de cette manière...
En tout cas merci pour vos suggestions

par **yos** » 25 Sep 2007, 13:31

C'est pas très dur.
Soit

et

.
B rencontre

en

. Soit

une boule de centre

contenue dans

. Par définition de

, on a

donc a fortiori

.
Et comme c'est vrai pour toute boule B contenant x, ça reste vrai en passant à l'inf sur ces boules :

et donc

.

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