Algorithme de bissection

[nico2b]

Bonjour tous le monde,
je vous énonce mon problème (j'essayerai d'être le plus clair et le plus précis possible).

On veut créer un programme qui calcule les racines d'une focntions.
Pour cela on se base comme exemple sur l'équation .

Pour prouvée l'existence et l'unicité de la racine on utilise le théorème des valeurs intermédiaires. Ca daccord.

Pour écrir l'algorithme de calcul, on va se servir de l'algorithme de bissection et on obitens au final ceci en pseudo code :

Etat intial ;
Répéter : [




]

Ca ok j'ai compris le système.
Ensuite il veut prouver la boucle je pense. Il introduit donc des invariants :

f(An)f(Bn) < 0
sign f(An) = sign f(a) et sign f(Bn) = sign f(b)

A l'étape n+1, la longeur de l'interval est divisé en 2 donc |An - Bn| 0

Là je comprends en gros sauf la méthode pour trouver ces invariants...
Où je ne comprends plus c'est ici :

Il met ensuite "Donc (An) est de Cauchy, (Bn) est de Cauchy et (xn) est de Cauchy"... Pourquoi?

Il termine de la façon suivante :
Comme c'est de Cauchy, ça converge donc ; et

Donc .
Quelqu'un serait-il m'éclairé sur les dernières lignes?

D'avance merci pour votre aide et déolsé pour la longeur mais j'ai voulu être le plus explicite possible.

[legeniedesalpages]

Salut,

ta fonction f , c'est bien ???

[nico2b]

Oui désolé j'ai oublié de la précisé

[legeniedesalpages]

tu as une suite croissante tels que soit pour tout n négatif, si tu pars d'un a tel que f(a)0.

Donc tu as un encadrement de plus en plus petit (à chaque étape il devient deux fois plus petit) autour de 0 et d'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe une racine tel que .

[nico2b]

Daccord j'ai compris le principe et où ça nous mène merci pour ton aide.
Ce que je voudrais aussi savoir c'est pour de |An - Bn| 0 on peut dire que (An) est de Cauchy de même pour (Bn) .

Et qu'est ce que cela nous amène de plus à dire ça...

Parce que comme c'est de Cauchy, ça converge donc on a que An converge vers un certain A* de même pour Bn vers un certain B* mais je ne vois pas ce que ça nous apporte dans notre développement :hein:

Merci d'avance pour l'aide apportée.

[legeniedesalpages]

L'idée c'est que si l'on fixe , comme tend vers 0,
alors il existe un entier tel que
[CENTER],[/CENTER]

or pour tous les entiers , on choisit , d'où .

Ce qui traduit que est de Cauchy.

C'est la même idée pour montrer que est de Cauchy.

[nico2b]

Ah oui daccord je comprends mieux l'idée maintenant
Merci pour ton explication

ET donc c'est en particulier les epsilon petit qui nous intéresse si j'ai compris l'idée