Polynome de Tchebychev

[Noub]

Bonjour,

Une semaine de sup, déjà des problèmes! J'ai besoin de prouver que pour tout entier naturel n et que pour tout réel x, cosnx=Tn(cosx). Je suppose qu'il faut utiliser la formule de Moivre, mais comment expliciter le polynome Tn, j'espère que vous pourrez me mettre sur une piste.

D'avance merci.

Noub

[Nicolas_75]

Bonjour,

A ma connaissance, il est difficile de trouver directement le polynôme.
Mais tu peux d'abord montrer une relation de récurrence.

Ceci pourrait te donner des idées :
http://www.ilemaths.net/forum-sujet-43934.html#msg259994

Nicolas

[Noub]

J'ai bien étudié ce que vous avez fait, mais un raisonnement comme celui me semble hors contexte, sachant que nous sommes dans les complexes, et que je n'ai pas eu de questions précédentes sur le polynome Tn (alias Pn dans l'énoncé de Margotte). En utilisant la formule de Moivre et le binome de Newton, j'arrive à factoriser par cosx. Seulement après je suis complètement perdu dans le deuxième facteur qui est une somme de (cos^(n-k)-cos^(n-k-2) avec des coefficients. J'ai du mal à y voir claire.

Noub