Nilpotence

par **Pythix** » 29 Avr 2007, 15:55

Bonjour,
on considère des matrices dans Mn(R) :
Comment montrer que si A et B sont deux matrices nilpotentes qui commutent, pour tout réel x on a :
A+xB nilpotente ? et que si p et q sont deux entiers tels que p+q>n alors

?

merci d'avance

je me doute qu'il faut utiliser le binôme mais je vois pas trop...

par **Pythix** » 29 Avr 2007, 16:02

euh :

par **Pythix** » 29 Avr 2007, 16:05

je ne savais pas comment faire les coefficients...

par **Pythix** » 29 Avr 2007, 16:57

pour montrer qu'une matrice strictement triangulaire est nilpotente :

peut on faire une récurrence sur n, le nombre de lignes et de colonnes ?

je ne sais pas si ma récurrence tient la route:
je suppose qu'il existe p tel que pour une matrice A de Mn(R) A^p=0
pour l'hérédité je prends une matrice B de

, je l'élève au carré et je dis que l'on se ramène à l'hypotèse de récurrence...

par **yos** » 30 Avr 2007, 17:09

Je fais remonter car je vois que personne n'a évoqué la deuxième question qui est intéressante.
A+xB nilpotente donc

, donc

. Voilà donc un polynôme en x à coefs dans

, identiquement nul.

par **yos** » 05 Mai 2007, 08:47

Il y a le résultat classique suivant :

"Si

sont nilpotentes et commutent deux à deux alors leur produit est nul."

Je sais le prouver, mais je me demandais si on pouvait le déduire du résultat précédent.

par **Jonathan_** » 23 Sep 2007, 07:07

Bonjour... Est ce que quelqu'un a une idée pour montrer une réciproque (partielle) de la première question?? je m'explique... il faut montrer que en prenant A et B dans Mn(C) tel que M=A+xB avec M nilpotente pour (n+1) valeurs de x alors on a A et B nilpotentes... j'ai essaye de développer avec le binôme, pour essayer de me ramener a un polynome en B ou en A pour peut être raisonner sur les racines du polynômes mais c'était une mauvaise idée, et à part sa je vois pas trop...

par **fahr451** » 23 Sep 2007, 10:07

notons x0,...,xn n+1 ces valeurs
pour i = 0,...,n
on a [A+Bx(i) ]^n = 0

en développant on obtient

sigma k = 0,...,n c(k) x(i)^k = 0

avec c(k) = (k parmi n ) A^(n-k) B^k

est un système n+1, n+1 d'inconnues les c(k) de matrice de van der monde des x(i) , de cramer donc l'unique solution est
pour tout k
c(k) = 0
en particulier c(0) = A^n = 0

et c(n) = B^n = 0

par **Jonathan_** » 23 Sep 2007, 10:11

Ok, merci beaucoup, j'avais pas pensé a poser c(k)...

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