[T.S] Exercices suites par récurrence

[dudul]

Bonjour à tous, voilà j'ai de gros problèmes avec 3 exercices, je vous mets les énoncés :


1/ Prouver que pour tout entier naturel n , 3^2n - 1 est un multiple de 8.



2/ La suite (Un) est définie par U0 = 1 et pour tout entier naturel par (Un+1) = Un + 2n + 3

- Etudiez la monotonie de la suite (Un)
- Démontrez que pour tout entier naturel n , (Un) > N²

3/ La suite (Un) est définit par U0 appartient ]0;1[ et pour tout entier n, (Un+1) = Un(2-Un).
- Démontrer par récurrence que pour tout entier n, 0


Merci de votre aide :)

[fonfon]

salut,

pour le 1er en fait ça revient à montrer que

je te laisse le rang 0 il suffit de remplacer n par 0

ensuite pour prouver l'hypothèse d'hérédité il faut supposer P(n) et en déduire P(n+1)

tu sais que 3^{2n}-1=8q et on cherche q' tel que

on pars de or d'apres l'hypotese de recurrence on a: donc ce qui prouve l'hérédité donc pour tout n on a est un multiple de 8

bon courage pour la suite essaie de les faire et ecris nous tes resultats

[dudul]

salut,


[TEX]3^{2(n+1)}-1=3^{2n+2}-1

ok merci j'étais bloqué à cete endroit, je n'avais pas eu votre idée qui me semble bonne, je vais faire ça mais ça me semble correct, merci


Par contre c'est pour les 2 autres ou j'ai le plus de difficultés, je ne sais plus comment on trouve Un ...

[lapras]

On pourrait démontrer cette premiere question grâce aux congruences, ça serait un gain de temps énorme ! :zen:

[dudul]

Ce n'est pas dans les cordes de TS pour le moment ^^
Sinon quelqu'un peut m'aider pour les 2 autres exercices ?

[fonfon]

re,

exo 2)

Etudiez la monotonie de la suite (Un)

calcul u(n+1)-un

- Démontrez que pour tout entier naturel n , (Un) > N²

tu verifies que c'est vrai au rang 0

on suppose que pour un n fixée on a (Un)>n² on regarde le rang n+1

soit U(n+1)=Un+2n+3>n²+2n+3>n²+2n+1=(n+1)² (car Un>n² hyp de recurrence)
donc...