équation différencielle du 1er ordre avec 2nd membre.

[Sigma]

Bonsoir,

Bon voila je viens à peine de rentrer en prépas mpsi et hélas j'ai déjà du mal en math... lol

Je viens sur ce forum pour vous demander si vous le voulez bien m'expliquer comment trouve t'on la solution d'une équation différencielle de 1er ordre ac un second membre du type (L): y'(t)+a(t)y(t)=b(t) .

En cour on a vu que la solution de cette équation était la somme d'une solution particuliere de (L), et de la solution générale de (H) (càd de y'(t)+a(t)y(t)=0). Ensuite on a vu le principe de superpostion des solution, ainsi que l'unicité de la sla soltuion vérifiant les conditions initiales , etc... Sans savoir comment trouvaer une solution particuliere de (L)!

Donc voila comment résoud-t-on une équation de type y'(t)+a(t)y(t)=b(t)?

et ainsi comment fait-on pour ces équation:

2y'=4y+3x et
y'+y=cosx+sinx

Je vous remercie d'avance de votre aide. ;)
A bientot.

[fahr451]

bonsoir


1 soit les seconds membres sont "particliers" et dans le cours on dit dans ce ca là on cherche une solution sous cette forme ou celle là

2 soit le second membre est quelconque et on a une méthode générale dite de la variation de la constante


si y0 est solution de l'équation sans second membre on cherche une solution particulière sous la forme

c(x)y0(x) avec c fonction dérivable et en remplaçant dans l'équation on trouve que c ' (x) = ....

d'où c ( si on peut calculer une primitive)

[Dyo]

2y'=4y+3x et
y'+y=cosx+sinx

Dans ton cas les seconds membres sont particuliers.

1) pour (E1) : 2y' - 4y = 3x
le second membre un est polynôme du premier degré, il faut donc
rechercher y comme étant un polynôme du 2nd degré :
y = ax² + bx + c, tu remplaces dans (E1) et identifies les coefficients
a,b,c

2) pour (E2) : y' + y = cosx + sinx
c'est le même principe, tu poses y = acosx + bsinx, tu remplaces
et tu identifies les coefficients.