Descente infinie démo

[J-R]

je remet mon EDIT: :)

j'ai oublier de préciser: en déduire : "Toute suite décroissante d'entiers naturels est finie" (si je n'abuse pas ce "principe" est de Fermat ?)

comme on a prouvé que (un) est stationnaire la suite est finie !! ya plus rien à démontrer ?

[lapras]

Emdro,
je me suis mal exprimé désolé,
c'est bien le fait qu'il existe p tel que Unp et que la suite descend de 1 à chaque fois qui m'a fait penser que Un serait négatif à un certain rang.

[lapras]

J-R : pour ta deuxieme question, c'est le principe d'archimede si je ne m'abuse,
Tout ensemble non vide de IN a un plus petit élément => ca se rejoint

[emdro]

àJR
Bah non, il n'y a plus rien à démontrer.

Mais posé comme cela c'est encore plus simple!
En effet, si on ne s'intéresse qu'aux images par la suite (les U0, U1...)
cet ensemble est majoré par U0 et minoré par 0. Il est donc inclus dans l'ensemble des entiers entre 0 et U0. Et par conséquent, fini!

[J-R]

lapras: ? c'est un axiome ca non ? et puis on parle de suite décroissante ?

je dis peut etre des betises dans ce cas je mexcuse :)

[J-R]

oui en effet mais heureusement que j'ai posé la première question car la démo me plait :) (au niveau du raisonnment....)

[lapras]

On peut démontrer par récurrence que tout ensemble de IN non vide a un plus petit élément :happy2:
je dis ca juste au cas ou ca t'interesserait

[J-R]

oui je veux bien ca :zen:

[lapras]

Tu fais une hypothese de récurrence :
P(n) = "Tout ensemble E = {1; ... ; kn} (k entier naturel) est fini
donc
E U {k_(n+1)} est fini
donc
P(n+1) vérifiée

je pense que c'est ca :id:

[J-R]

je sais j'avais penser à ce genre mais ca me parait tellement "simple" on va dire...

[lapras]

Oué, surtout que le théoreme est admis en term spé maths, donc on s'imagine a une démo de malade !

[Skullkid]

On peut démontrer par récurrence que tout ensemble de IN non vide a un plus petit élément

Désolé, je m'incruste, mais il me semble que le fait que toute partie non vide de admette un plus petit élément fait partie des axiomes de définition de , non ? Enfin j'ai souvenir d'avoir démontré la validité du raisonnement par récurrence à partir de là...

[lapras]

Je ne sais pas, sur xMaths ils disent propriété admise

[Skullkid]

En TS on la présente en effet comme admise, si mes souvenirs sont bons...

[lapras]

Pourquoi tant de choses admise ?
:cry:

[Skullkid]

Parce qu'on estime que certaines démonstrations sont trop compliquées et/ou n'apporteraient rien aux élèves à un certain niveau (à tort ou à raison), je suppose.

Mais dans le cas de cette propriété de , si elle est bien, comme j'en ai souvenir, un des axiomes fondamentaux de , elle est nécessairement indémontrable (ou alors en incluant le principe de récurrence comme un axiome).

[lapras]

Justement,
certains disent que le principe de récurrence peut etre démontré, certains disent que c'estr un axiome
Je pencherais pour un axiome car il est tres tres logique :we:

[Skullkid]

Le théorème des valeurs intermédiaires est aussi très logique ^^

Enfin bon, je suppose que c'est plus ou moins indécidable, y a plusieurs axiomatiques de , je crois.

[lapras]

Oui ca m"a tué le TVI
Je croyais que c'étrait super super simple a démontrer, tellement que c logique, mais la démonstration fait appel à pas mal de principes de bases astucieusements utilisés (dichotomie, etc..)