Vecteurs

par **kokoL** » 17 Sep 2007, 20:39

Soit ABCD un parallélogramme. On considère les points M et N définis par :

vecteurAM = 1/3 vecteurAB et vecteurAN = 2/3 vecteurAD

On appelle M' le point d'intersection de la droite (DC) et de la parallèle à la droite (AD) passant par M, et N' le point d'intersection de la droite (BC) et de la parallèle à la droite (AB) passant par N.

1) En se plaçant dans un repère judicieusement choisi, démontrer que les droites (NM'),(AC) et (MN') sont parallèles.

2)Le quadrilatère MNM'N' est-il un parallélogramme ?
On justifiera la réponse.

3)Soit G le point d'intersection des droites (MM') et (NN').

a)Uniquement par des considérations géométriques, démontrer que le point G est le centre de gravité du triangle ADC.

b)Retrouver ce résultat en utilisant des coordonnées

Salut a tous !

J'ai pour l'instant réussi la question 1) et je pense avoir compris la 2). En revanche je n'ai vraiment rien compris à la question 3)a) et 3)b).
Si vous pourriez me donner un petit coup de pouce...

Merci d'avance :we:

par **yvelines78** » 17 Sep 2007, 20:45

bonjour,

prends un repère d'origine A, ayant pour vecteurs des abscisses vec AB et pour les ordonnées vecAD
A(0;0), B(1;0), D(0;1), C(1;1), N(0; 2/3), M(1/3;0), M'(1/3; 1), N'(1;2/3)
pour calculer les coordonnées d'un vecteur AC
vecAC(xc-xa;yc-ya)
vecAC(1;1)

vec MN'(xn'-xm;yn'-ym)
vec MN'(1-1/3;2/3-0)
vecMN'(2/3;2/3)
vecMN'=2/3(vecAC), donc (MN')//(AC)

par **kokoL** » 17 Sep 2007, 21:20

peux tu etre un peu plus clair ? je ne suis pas ton raisonnement...

par **kokoL** » 17 Sep 2007, 21:47

Oui je te remercie mais j'ai compris la question 1) en revanche c'est pour la 3) que j'ai un peu de mal...

par **yvelines78** » 17 Sep 2007, 22:31

(suite 1) quand vecMN'=2/3(vecAC)=k vec AC les vecteurs sont //s(cours)

vec NM'(xm'-xn;ym'-yn)
vec NM'(1/3-0;1-2/3)
vecNM'(1/3; 1/3)
vecNM'=1/3vecAC, donc (AC)//(NM')

(AC)//(NM')
(MN')//(AC)
donc (NM')//(MN')

2)mais vec NM'=1/3vecAC et vecMN'=2/3(vecAC), donc vecNM' n'est égal à vec MN', donc NMN4M4 n'est pas un //lo

3a)soit A' lintersection de (AG) et (DC)
G E (NN'), (NG)//(DA')
d'après Thalès dans AA'D
AN/AD=AG/AA'=NG/DA'
AN=2/3AD
donc AG/AA'=2/3, G est situé au 2/3 de [AA'] donc G est le centre de gravité

3b)G E (MM') et (NN') donc G(1/3;2/3)
A'(xa', 1)
A, G et A' sont alignés
vec AG(xg-xa;yg-ya)
vecAG(1/3; 2/3)
vec AA'(xa'-xa;ya'-ya)
vecAA'(xa';1)
vec AG=k vecAA'
pour cela il faut multiplier vec AG par 3/2 et donc vec AA' par 2/3 et xa'=1/2 donc A' est le milieu de [DC]

par **yvelines78** » 18 Sep 2007, 20:21

ce post pour faire remonter la discussion

par **kokoL** » 18 Sep 2007, 20:27

ok alors peux tu me rexpliquer la premiere question (en utilisant des mots et des calculs stp)
dans ma figure A est en haut a droite et B en haut a gauche

par **yvelines78** » 18 Sep 2007, 20:35

je refais la figure pour que nous ayons la même disposition de points, mais cela ne change rien

je prends comme origine du repère et [Ab) comme axe des abscisses et le vecAB comme unité ,
et [Ad) conmme axe des ordonnées avec vec AD comme unité

tourne ta figure de façon à avoir A en bas à gauche si ça peut t'aider
A est l'origine du repère, donc A(0;0)
B est sur l'axe des abscisses et vecAB est le vecteur unité donc B(1;0)
D est sur l'axe des ordonnées et vecAD est l'unité, donc D(0;1)

essaie de situer les autres points dans le repère

par **yvelines78** » 18 Sep 2007, 20:47

ABCD est un rectangle, donc AB=CD=1 et BC=AD=1, donc C(1;1)
vecAM=1/3vecAB, donc AM=1/3*AB et M E à l'axe des abscisses,M(1/3;0)
vecAN=2/3vecAD, donc AN=2/3*AD et N E à l'axe des ordonnées, N(0;2/3)
N' est situé sur la //à (AB) passant par N, N' aura même ordonnée que N, il est situé sur (BC) il aura même abscisse que B, N'(1.2/3)
M' est situé sur la //à (AD) passant par M, il aura même la même abscisse que M et E (CD), il aura la même ordonnée que D, M'(1/3;1)
es-tu d'accord avec cela

par **kokoL** » 18 Sep 2007, 20:56

je suis d'accord avec cela juste que ABCD est un parralélogramme mais je pense que le raisonnement est le meme...

par **yvelines78** » 18 Sep 2007, 21:00

pour prouver que (NM')//(AC), on va essayer de prouver que vecNM'=kvecAC (cours)
pour cela on calcule les coordonnées de ces 2 vecteurs
vecAC(abscisse de l'extrémité- abscisse de l'origine; ordonnée de l'extrémité-ordonnée de l'origine)
application :
vecAC(xc-xa;yc-ya)
vecAC(1-0;1-0)
vecAC(1;1)

vecNM'(xm'-xn;ym'-yn)
vecNM'(1/3-0;1-2/3)
vecNM'(1/3;(3-2/3))
vecNM'(1/3;1/3)

pour passer des coordonnées de vecNM' à celles de vecAC, il y a n facteur d'1/3
vecNM'=1/3vecAC, ils sont donc // (ils sont colinéaires, ils seraient alignés s'ils avaient un point commun)
donc (NM')//(AC)

par **yvelines78** » 18 Sep 2007, 21:02

excuse-moi à passer d'un exo à l'autre, effectivement ABCD est un //lo, mais cela ne change rien, le repère n'est pas orthogonal

par **yvelines78** » 18 Sep 2007, 21:10

il faut faire la même chose pour vecMN' et vecAC
vecMN'(xn'-xm;yn'-ym)
vecMN'(1-1/3;2/3-0)
vecMN'((3-1)/3;2/3)
vecMN'(2/3;2/3)
on peut donc écrire que vecMN'=2/3vecAC, (MN')//(AC)

donc si (MN')//(AC) et (NM')//(AC), on peut dire que (MN')//(NM')

mais ces vecteurs ne sont pas =, puisqu'ils n'ont pas même coordonnées
on peut donc conclure que NM'N'M n'est pas un //lo

par **kokoL** » 18 Sep 2007, 21:13

ensuite on cherche si les vecteurs NM' et AC et MN' sont colinéaires en utilisant le théorème " vec u(x;y) et vec v(x';y') sont colinéraires ssi xy' - x'y=0 si x' different de 0 et y' different de 0"
on trouve que les vecteurs sont colinéraires donc les droites sont parallèles.

Le raisonnement est il bon ?
(j'ai poster ce mess pendant que tu publiait ta reponse mais on arrive au meme resultat je pense)

par **kokoL** » 18 Sep 2007, 21:17

On attaque le 3) ?

a) Est il suffisant de démontrer que G est situer a 2/3 d'UNE seule mediane pour dire que G est le centre de gravité du triangle ADC ?

b) On utilise la formule vecGA+vecGD+vecGC = Vec 0 ??

par **yvelines78** » 18 Sep 2007, 21:40

a) Est il suffisant de démontrer que G est situer a 2/3 d'UNE seule mediane pour dire que G est le centre de gravité du triangle ADC ?
oui le centre de gravité est situé au 2/3 de la médiane à partir du sommet

b)je n'avais pas pensé à cela hier, mais pourquoi pas?

par **kokoL** » 18 Sep 2007, 22:06

a) mais nous n'avons pas besoin de démontrer que G est situé a 2/3 du sommet sur DEUX medianes ? Une seule est suffisante ?

b)Si l'on passe par ma méthode va t on utiliser " des coordonnées" comme demandés dans le texte ?

par **yvelines78** » 18 Sep 2007, 22:12

non une est suffisante, je pense que cest ce que j'ai fait hier

j'ai utilisé une méthode avec des vecteurs hier aussi, ce me semble!!!

par **kokoL** » 18 Sep 2007, 22:23

Oui j'ai bien compris que ta méthode fonctionne mais je veux savoir si en apliquant ma méthode on va utiliser des coordonnées comme dans le texte ?

par **yvelines78** » 18 Sep 2007, 22:29

version géomètrie3a)soit A' lintersection de (AG) et (DC)
G E (NN'), (NG)//(DA')
d'après Thalès dans AA'D
AN/AD=AG/AA'=NG/DA'
AN=2/3AD
donc AG/AA'=2/3, G est situé au 2/3 de [AA'] donc G est le centre de gravité

version vecteurs
3b)G E (MM') et (NN') donc G(1/3;2/3)
je prolonge (AG), A' est le point d'intersection de (AG) et (CD)A'(xa', 1)
A, G et A' sont alignés, les vecteurs sont colinéairesvec AG(xg-xa;yg-ya)
vecAG(1/3; 2/3)
vec AA'(xa'-xa;ya'-ya)
vecAA'(xa';1)
si les vecteurs sont colinéaires, je peux écrirevec AG=k vecAA'
pour cela il faut multiplier vec AG par 3/2 et donc vec AA' par 2/3 et j'en déduis que xa'=1/2 donc A' est le milieu de [DC]
ici je n'utilise plus la propriété des 2/3 de la médiane, je prouve que A4 est le milieu du côté [CD],

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