[TS-SPé]DM Arithmétique

[Jo2500]

Salut^^
Après avoir cherché pendant une heure je désespère, pouvez-vous me guider???
(quelle technique utiliser...)

1-Montrer que l'équation x²congru3modulo7 où x est un entier relatif, n'a pas de solution
2-Montrer que pour tous entiers a et b, si 7 divise a²+b² alors 7 divise a et 7 divise b
3-Si a'b'c sont trois entiers relatifs vérifiant a²+b²=7c², démontrer qu'alors les trois entiers a,b,c sont divisble par 7

Merci d'avance

[Jo2500]

UP jvous en supplie

[alex.3590]

att je peux ptet t'aider pour la 2/ et la 3/

[alex.3590]

as tu vu les theoremes de spé sur la divisibilité

[lapras]

salut,

si n congrue à :
1 mod 7, alors n² = 1 (7)
2 mod 7, alors n² = 4 (7)
3 mod 7, alors n² = 2 (7)
4 mod 7, alors n² = 2 (7)
5 mod 7, alors n² = 4 (7)
6 mod 7, alors n² = 1 (7)
7 mod 7, alors n² = 0 (7)
etc...
les restes sont périodiques (c'est démontrable facilement !)
Aucun n² ne congrue à 3 mod(7)

2)
t'es sur que c'est la bonne qestion ? qu'il y'a une solution ?
Car a en croire mon tableau, si tu ajoutes 2 nombres au carré, alors la somme de leur congrence mod7 ne sera jamais un multiple de 7, donc il n'existe pas a² et b² tel que a²+b² = 7k
3)
encore une fois, je ne vois pas comment ca peut etre possible

[lapras]

Quelqun pourrait il me corriger ?

[lapras]

Je te parles de la réciproque !
En plus, tu as prouvé que a²-b² = 0 (7)
Essaye de trouver des couples d'entiers tels que a²+b² = 7k, bon courage ^^
Lol, ca se trouve j'ai tout faux :marteau:

[lapras]

EDit :
je me suis trompé, voici le résonnement que je pense juste :
si n congrue à :
0 mod 7, alors n²= 0 (7)
1 mod 7, alors n² = 1 (7)
2 mod 7, alors n² = 4 (7)
3 mod 7, alors n² = 2 (7)
4 mod 7, alors n² = 2 (7)
5 mod 7, alors n² = 4 (7)
6 mod 7, alors n² = 1 (7)
7 mod 7, alors n² = 0 (7)

On remarque que a²+b² congrue à 0 (7) que si a² et b² congrue à 0 (7)
Or quand n² congrue à 0 mod(7), alors n congrue à 0 mod (7)
donc a et b divisibles par 7.
CQFD