[résolu][mpsi] récurrence de Un

par **NazDreG** » 16 Sep 2007, 12:34

Soit Un avec n appartient à N étoile la suite définie par :
U1 = 1 et Un+1 = 1 + (n/Un)

Montrer que pour tout n de N étoile :

(1+RACINE(4n-3))/2 =< Un =< (1+RACINE(4n+1))/2

Je pense qu'il faut faire une récurrence, j'ai démontré l'initialisation mais après pour montrer Pn => Pn+1 j'y arrive pas trop :marteau:

par **fahr451** » 16 Sep 2007, 12:47

que dire de la fonction f(x) = 1+ n/x ?

par **yos** » 16 Sep 2007, 12:48

Bonjour.
Expression conjuguée.

par **NazDreG** » 16 Sep 2007, 13:02

en effet ça marche bien pour cette expression mais pour l'autre quand je développe je trouve :

2n/(1+Racine(4n-3)) = [n - n*Racine(4n-3)] / (2 - 2n)

Erreur de calcul? mauvaise méthode?

par **yos** » 16 Sep 2007, 13:05

NazDreG a écrit:Erreur de calcul? mauvaise méthode?

Non c'est bon. Il te reste à le comparer à ce que tu veux.

par **NazDreG** » 16 Sep 2007, 13:41

quelqu'un a une idée pour montrer que

?

il me manque plus que ça pour ma récurrence

par **NazDreG** » 16 Sep 2007, 16:06

petit up, personne ne trouve? :hum:

par **fahr451** » 16 Sep 2007, 16:34

sisi j'ai trouvé il m ' a fallu deux minutes...

inutile d'écrire "personne ne trouve" c'est désobligeant

on doit montrer que

4n >= (1+rac (4n+1) ) ( 1 +rac (4n-3) )
montre que
rac(4n-3) +1 >= rac(4n+1) -1
en élevant au carré froidement

et ensuite c'est fini

par **NazDreG** » 16 Sep 2007, 16:56

salut,
désolé si je t'ai paru désobligeant je voulais juste essayer de réanimer le sujet.
concernant ta réponse je ne la comprend pas trop est-ce que tu pourrais l'expliciter s'il-te-plait?

(tu commence par montrons que 4n >=... c'est une transformation de mon inégalité? comment as-tu fait? ensuite tu me propose de montrer une autre inégalité mais je n'arrive pas à faire le lien.. voilà désolé j'ai un peu de mal même en réflechissant sur papier)

par **NazDreG** » 16 Sep 2007, 18:13

Toujours pas trouvé :cry:

par **yos** » 16 Sep 2007, 20:07

J'obtiens comme majorant de

le nombre

et il faut que tu prouves que ce nombre est plus petit que

. Cela revient à prouver que

. On élève au carré et on tombe sur une inégalité facile :

.

Je n'ai pas vérifié mes calculs : il te reste ce travail.

par **NazDreG** » 16 Sep 2007, 21:10

il y a un (n-2) qui s'est perdu en route?
de plus ton inégalité "facile" n'est pas vérifiée pour les premières valeurs de n..

par **NazDreG** » 16 Sep 2007, 21:42

c'est bon j'ai réussi à m'en sortir je retombe sur une inégalité avec un trinome et 0, merci à tous pour votre aide :++:

par **yos** » 16 Sep 2007, 21:53

Coquilles corrigées.

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