Exercice compliqué pour lundi

[Nuklearis]

Bonjour à tous j'ai un petit problème avec un exercice sur les nombres complexes donc si vous pouviez m'aider...

Soit n un entier naturel. On se propose d'étudier l'existence et les propriétés des polynômes Pn(X) tels que pour tout t appartenant à C/{0}, Pn(t + 1/t) = t^n + 1/t^n

1)a_ Montrer que si Pn existe alors Pn est unique
b_ Justifier que P(0)(X)=2, P(1)(X)=X et calculer P(2)(X) en développant ( t + 1/t )²

2) Montrer par récurrence que Pn existe et P(n+2)(X) = XP(n+1)(X) - Pn(X)

3) Déterminer le degré de Pn, son terme de plus haut degré et sa parité

4)a_ Calculer P(5)(X)
b_ En déduire une factorisation de P(5)(X) dans R(X) ( R = ensemble réels )

J'ai fait la question 1)b_ mais le reste je suis complètement perdu ( c'est un exo de prépa PCSI )

Merci d'avance pour votre aide précieuse...

[fahr451]

bonjour

1a que dire de deux polynômes qui prennent les mêmes valeurs en une infinité de points ?

[Nuklearis]

Ils sont égaux et uniques je crois mais le problème c'est comment prouver que des polynomes prennent toujours la même valeur en une infinité de points ? Avec la limite en l'infini ou autre chose ?
tu verrais pas pour les autres...?

[fahr451]

?

on en est tjrs à 1a (remarque je "vois" aussi pour les autres questions mais comem tu ne vois tjrs pas celle la...)

prenons Pn et Qn deux solutions alors pour tout t non nul

Pn( t+1/t) = Qn( t+1/t) or la fonction t+1/t prend une infinité de valeurs
donc Pn = Qn et l 'unicité

1b fait

2 partir de

t^(n+2) +1/t^(n+2) = (t+1/t) [ t^(n+1) +1/t^(n+1) ] - ?

je te laisse remplacer le ?

[Nuklearis]

Merci fahr451...
Pour les autres tu peux m'aider ?
Pas me donner les réponses mais juste me dire depuis quoi partir...

[fahr451]

3 par récurrence sur deux termes ( supposer pour n-1 et n ) montrer que

Pn est de degré n
a la parité de n id est Pn(-x) =(-1)^n Pn(x)
de coeff dominant 1

[Nuklearis]

ok merci
et pour le 4 ?