Algèbre nombres complexes

[normo]

Bonjour,
Je suis un peu perdu sur un exo mais j'ai un début de réflexion merci de m'aider.

Soit P E C[X] de degré n: P= a0+a1X+a2X² +... + anX^n

Soient z0,z1,...zn les racines n+1 nième de l'unité et soit M = sup{ l P(zk) l , k E { 0,1,...,n}

Résoudre dans C l'équation z^n+1 = 1 et montrer que l'on peut choisir z1 de sorte que zk=z1^k

et montrer que M>0

Pour résoudre l'équation je sais qu'on doit résoudre P(Z^n+1) -1 =0 mais je n'y arrive pas

et pour montrer M>0 étant donné que ce sont des valeurs absolues c'est forcément positif...

Merci de m'aider

[neibaf]

Bonjour,

pour résoudre l'équation , rien à dire, ce sont les racines n+1èmede l'unité. Pour montrer que l'on peut choisir... ben rien à dire non plus, les racines sont de la forme : .
Reste à montrer que M est strictement positif. Donc comme tu l'as dit, c'est le sup d'une valeur absolue, donc positif, il nous reste le strictement.
Si M=0, ça veut dire que tous les P(zk) vaut 0 pour tous les k, donc P s'annule en n+1 valeur, et comme il est de degré n, ça veut dire que P est le polynome nul. Or on nous dit qu'il est de degré n, donc il ne peut pas être le polynome nul, donc....

[normo]

Merci mais je ne vois pas ce que sont les racines nème de l'unité..

[neibaf]

les racines de l'unité, si tu préfères, ce sont les solutions de l'équation z^n=1. Je te les ais écrites (c'est l'exponentielle à la puissance machin)[en fait, ce sont les racines n+1 ème que je t'ai écrit, car ce qui nous intéresse, c'est z^(n+1)=1].

[fahr451]

oui ça se démontre



pas dur

[fahr451]

je le fais
q dans N* fixé

f E - > F avec pour tout y dans F y a exactement q antécédents
F fini
alors E fini et



card E = q card F

dem

E = f^(-1) ( F) = f^(-1 ) ( U {y} ) l'union porant sur les y dans F

U disjointe
E = U f^(-1) ({y} ) union disjointe

E est l'union finie d 'ensembles fini est fini

et
card E = sigma card f^(-1) ({y}) = sigma ( q) = q card F

E est l 'ensemble des pattes , F des moutons et q = 4