Devoir maison please

[maxipampers]

svp , j'ai un devoir maison et c'est assez dur !

I) Dans tout cet exercice , le triangle ABC est non aplati

1)montré légalité : sin²A = sin²B + sin² C-2sin B sin C cos A ( A , B , C sont des angles )

2)monter que le triangle ABC est restangle en A si et seulement si il vérifie l'égalité : sin ² A = sin ² B + sin ² C ( A , B , C sont toujours des angles )

3 ) montrer que le triangle ABC est rectangle si et seulement si il vérifie l'égalité : sin ² A + sin ² B + sin ² C = 2

II)petit problème qui me pose pas mal de difficulté :
chacune des gares routières desservies par la compagnie d'autocars délivre autant de billets différents qu'il y a de gares , à l'exeption d'elle-même , bien sur . sur chaque billet sont indiquées la gare où le billet a été acheté et la gare de destination .

la compagnie dessert depuis ce matin plusieurs gares supplémentaires , et de ce fait , a dû faire imprimer 76 types de billets supplémentaires .

combien de gares dessert actuellement la compagnie ?

merci beaucoup

[Galt]

Le 1)
A mon avis, il manque un carré au sin C, et c'est coas A et non sin A à la fin.
Il faut partir de la formule d'Al Kashi , et utiliser l'identité des sinus pour remplacer par les expressions en sinus.
Le 2) Un sens est évident (si ABC est rectangle, alors ça marche car sinA =1 et cos A =0), l'autre sens donne cos A =0 ce qui permet de conclure
Le 3) Un sens est évident (même chose), dans l'autre je na'i pour l'instant rien de génial, on substitue dans la formule du 1) par , on obtient , on remplace et ça donne (ça c'est bon) ou (ça c'est moins bon), il faut peut-être le refaire dans les autres sens et bridcoler un peu.

Pour l'autre, si on appelle le nombre de gares au départ, et p le nombre de gares ajoutées, on a donc ce qui s'écrit , on factorise par à gauche, et on utilise que n et p sont entiers, et que 76 ne peut pas s'écrire n'importe comment comme produit d'entiers ...
Bonne chance pour la suite

[reav]

Pour le 2), on peut partir du théorème de Pythagore : (on suppose que le triangle est rectangle, mais je pense que la réciproque est vraie aussi)

Soit un triangle ABC rectangle en A :
AB²+AC²=CB² <=> AB²/CB²+AC²/CB²=CB²/CB² <=> sin²C+sin²B=1

On ajoute sin²A, et sinA=1, donc sin²C+sin²B+sin²A=2

[Galt]

Non, cette méthode ne vas pas tout à fait (je vous laisse chercher pourquoi un peu)

[maxipampers]

oui désolé pour les fautes dans le 1) c'est : sin² A = sin ² B + sin ² C -2sin B sin C cos A

[reav]

A part le fait que je prends un cas particulier, je vois pas en quoi c'est faux...
Est-ce là l'erreur ?

[Galt]

Si on n'est pas certain que le triangle est rectangle, on ne peut pas écrire

[reav]

J'ai supposé qu'il l'était... Et puis ça serait valable pour les autres angles aussi, pourquoi juste B ?

[Galt]

Si on suppose que le triangle est rectangle oui, mais dans l'autre sens ça coince
On ne peut pas remplacer les sinus par les quotients des carrés des côtés

[reav]

Si on suppose que le triangle est rectangle oui

En l'occurence c'était le cas ici... Mais la réciproque n'est en effet finalement pas prouvée (par cette méthode).

[maxipampers]

merci beaucoup , mais je ne vois pas comment prouvé l'autre sens du 2 ) , c'est a dire , en partant de sin²A = sin² B + sin ² C , de prouver que ABC est rectangle en A !

et pour le 3 ) je n'arrive pas a trouver malgrès vos aides ....

[Nicolas_75]

Euh... pour le 2) réciproque...
s'il vérifie l'égalité sin ² A = sin ² B + sin ² C, cela signifie que :
sinB sinC cosA= 0
or sinB et sinC sont non nuls puisque le triangle n'est pas aplati.
Donc cosA = 0
A = pi/2
triangle rectangle !

[Nicolas_75]

3) sens direct est évident
Si le triangle est rectangle en A (par exemple) :

Donc

[maxipampers]

s'il vérifie l'égalité sin ² A = sin ² B + sin ² C, cela signifie que :
sinB sinC cosA= 0

pourquoi ceci??

[Nicolas_75]

(2) réciproque)

maxipampers, il faut faire un petit effort.

Tu as montré en 1) que :
sin²A = sin²B + sin² C-2sin B sin C cos A
Donc, si sin²A = sin²B + sin² C, alors 2sin B sin C cos A = 0
Où est le problème ?

Nicolas

[maxipampers]

oui désolé ! merci pour lexo I sa devrait etre bon , maintenant reste le problème et c'est un peu urgent vu que c'est pour demain , et personne de ma classe n'a trouvé la solution , si quelqu'un pouvait m'aider , merci pour tout !

[Nicolas_75]

Tu as démontré 3) réciproque ?

[maxipampers]

non , jai pas fait la réciproque ! mais pour le II je suis toujours au point de départ , je me demande si cette exo est réalisable , on a pas beaucoup de chiffres ....

[Nicolas_75]

Bien sûr qu'il est réalisable !

II)

Soit n le nombre de gares hier.
Le nombre de types de billets hier est n(n+1).

Soit p le nombre de gares aujourd'hui.
Le nombre de types de billets aujourd'hui est p(p+1).

D'après l'énoncé :
p(p+1)=n(n+1)+76
p^2-n^2+p-n=76
(p-n)(p+n)+(p-n)=76
(p-n)(p+n+1)=76

Or 76=19.2.2.1 (facteurs premiers)

On a donc 6 choix :
(p-n)=1 alors p+n+1=76 donc 2p+1=77, p=38, n=37 donc +1 gare, or l'énoncé dit "plusieurs gares" IMPOSSIBLE
(p-n)=2 alors p+n+1=38 donc 2p+1=40 IMPOSSIBLE
(p-n)=4 alors p+n+1=19 donc 2p+1=23, p=11, n=7
(p-n)=19 alors p+n+1=4 donc 2p+1=23, p=11, n=-8 IMPOSSIBLE
(p-n)=38 alors p+n+1=2 donc 2p+1=40 IMPOSSIBLE
(p-n)=76 alors p+n+1=1 donc 2p+1=77, p=38, n=-38 IMPOSSIBLE

Donc la solution est 11

Sauf erreur.

Nicolas

[maxipampers]

pour le nombre de billets de hier , ce n'est pas plutot n ( n - 1 ) vu qu'on enlève une garre ?