Partition et fonctions simples

[mathou]

bonjour je dois rendre un DL de math pour mardi et je bloque sur certaines questions:

1-soient f une fonction simple et (Ai) avec i compri entre 1 et n , une partition associée a f. on pose ai=f(Ai)
exprimer f en fonction des ai et des fonctions indicatrices de Ai
(g trouver f=somme des ai*indicatrice de Ai mais je ne sais pas comment le démontrer!)

2-soient f et g deux fonctions simples.montrer qu'il existe une partition (Ci) avec i compri entre 1 et m associée à la fois à f et g

3-déduire que la somme de deux fonctions simples; le produit de 2 fonctions simples et le produit d'une fonction simple par un réel sont des fonctions simples.

4- montrer aussi que si f et g sont des fonctions simples, max(f,g) et min (f,g) sont des fonctions simples.


merci beaucoup! c'est super urgent!

[fahr451]

bonsoir

c'est sans doute pas compliqué mais qu 'est ce qu une fonction simple ?

[mathou]

c'est marqué : on dit qu'une fonction f est simple s'il existe une partition (Ai), avec i compri entre 1 et n , de E, où les Ai sont tous non vides, telle que f soit constante sur chacun des Ai.

[fahr451]

c'est marqué : on dit qu'une fonction f est simple s'il existe une partition (Ai), avec i compri entre 1 et n , de E, où les Ai sont tous non vides, telle que f soit constante sur chacun des Ai.

c'est marqué sur ta feuille mais pas sur ton post initial ...


une rem ce n est pas f(Ai) = ai mais f (Ai) = {ai} l 'image d un ensemble est un ensemble

1)
alors
tu as raison
f = sigma sur i de ai 1 (Ai) où1(Ai) est la fonction caract de Ai

preuve prendre x dans E et vérifier que les deux fonctions prennent la même valeur en x

comme les Ai forment une partition il existe un unique io avec x ds Aio

d'où f(x)= aio
et pour i si i différent io 1(Ai) (x) = 0 car x pas ds Ai
et pour io 1(Aio) (x) = 1

donc la somme à droite vaut

a1 . 0 +a2.0+...+ ai0.1 +0...+ = ai0 et l égalité

[mathou]

ok merci, je vais regarder sa.

Mais pour les autres questions j'ai beaucoup de mal!
pourriez vous m'aider?

[fahr451]

2 pour f il existe une partition Ai associée
pour g une partition Bj

en prenant tous les Ai inter Bj en ne gardant que les intersection non vides il est clair qu 'on obtient une partition
associée à la fois à f et à g

faire un petit dessin avec E le gâteau : A1 et A2 et B1 , B2 ,B3 n'importe comment

le gâteau E initialement découpé en 2 et 3 parts le sera en 6

[mathou]

je n'ai pas tous compri pour la 2!
pour la dernière question auriez-vous des idées?

[fahr451]

tu prends un gateau E
tu le découpes en 2 sur chaque part la fonction f est cst

tu le reconstitues


tu le redecoupes en 3 sur chaque part la fct g est cst


si tu avais coupé à la fois en 2 et 3 tu aurais 6 petites parts

et sur chaque f et g sont constantes

bon jaurais essayé de rendre concrète la notion de partition sans grand succès
3 en découle


4 en découle

en prenant une partition Ci adaptée à la fois à f et g

pour tout i sur Ai, f vaut : ai et g vaut bi alors

max (f,g) vaut sur Ai :max(ai , bi) = cst idem pour min

[mathou]

merci beaucoup!

je vais regarder sa et puis on véra!