Bonjour, voici l'exercice :
Démontrer par récurence que :
Quelque soit n N*, n parmi 2n >= (4^n)/2V(n)
Je fais ma récurence et mon problème est en fait un problème de calcul algébrique : j'arrive à vouloir comparer les termes suivants :
4^n/2v(n) x ((2n+1)2(n+1)) - 4^(n+1)/2V(n+1) je veux calculer la différence et prouver que c'est supérieur à 0 (si j'ai bien compris...). Merci de votre aide.
Une récurence
4 messages
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par emdro » 15 Sep 2007, 18:06
Tu veux démontrer que 
, c'est cela?
par récurrence,
 \choose n+1}= \frac{(2n)!(2n+1)(2n+2)}{n!^2(n+1)^2}=\frac{(2n)!(2n+1)2}{n!^2(n+1)}={2n \choose n}\times\frac{2(2n+1)}{(n+1)})
Donc, HR,
 \choose n+1}\ge \frac{4^n}{2\sqrt n}\times\frac{2(2n+1)}{(n+1)})
Or}{(n+1)}=\frac{4^n}{2\sqrt n}\times\frac{4(n+\frac 1 2)}{(n+1)}=\frac{4^{n+1}}{2\sqrt {n+1}}\times\frac{(n+\frac 1 2)}{sqrt{n(n+1)}})
Il ne te reste plus qu'à démontrer que}{sqrt{n(n+1)}} \ge 1)
,
et ce n'est pas trop difficile car
}{sqrt{n(n+1)}}=\frac{(n+\frac 1 2)}{sqrt{n^2+n}}=\frac{(n+\frac 1 2)}{sqrt{(n+\frac 1 2)^2-\frac 1 4}} \ge \frac{(n+\frac 1 2)}{sqrt{(n+\frac 1 2)^2}}=1)
:happy2:
par récurrence,
Donc, HR,
Or
Il ne te reste plus qu'à démontrer que
et ce n'est pas trop difficile car
:happy2:
par emdro » 15 Sep 2007, 18:14
Oui, tu étais manifestement parti avec des différences alors que c'était clairement un problème à produit...
NB: 2 r à récuRRence! :hum:
NB: 2 r à récuRRence! :hum:
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