DM 1ère S intersections de cercles et de droites

[Half-Life]

Pr le 21/09/07.

Intersection de cercles et de droites :

Dauns un repère orthonormal, on considère le cercle C de centre O et de rayon 2. Celui-ci a pour équation x carré + y carré - 4 = 0. Soit la droite D passant par A ( 4 ; 0 ) et de coefficient directeur m.

1) Déterminer l'équation de D pour m = 1 et pour m = 0.5. Tracer C et D dans ces deux cas. Que peut-on conjecturer pour le nombre de points d'intersection de C et de D ?

2) Pour m = 1 , démontrer que la recherche des points d'intersections de C et D conduit à résoudre l'équation 2x carré - 8x + 12 = 0. Que peut-on en déduire pour ces points d'intersection ?

3) Pour m = 0.5 , déterminer une équation qui démontrera la conjecture de la question 1).

4) Pour m quelconque, démontrer que la recherche des points d'intersection de C et D conduit à résoudre l'équation (m carré + 1 ) x carré - 8m carré + 16m carré - 4 = 0.

5) Après avoir calculer le discriminant du trinôme, déterminer les valeurs de m pour lesquelles il y a des poits d'intersection entre C et D.

6) L'équation générale d'un cercle est :
(x - a) carré + ( y - b ) carré - R carré = 0.
celle d'une droite est y = mx + p ou x = k.

Ecrire sans démonstration, une brève expliquation de ce théorème : " une droite et un cercle sont soit sécants en deux points, ou en un seul point, ou disjoints ".


Voilà mon DM à faire pr la semaine prochaine. Je n'ai vraiment pas compris comment faire, même ma figure semble incohérente avec la suite de ce devoir.
Les maths n'étant pas mon point fort, je vous prie de m'aider à faire et à comprendre ce devoir qui me paraît très difficile.


Merci d'avance pour votre aide,
Half-Life

[annick]

Bonsoir,
Bon on reprend ça au début :
1) quelle est l'équation de la droite passant par A et de coefficient directeur 1
" " " " " " " " " " 0,5
La première coupe-telle le cercle? et la deuxième?

[Half-Life]

j'ai réussi à faire les questions 1) à 4). il me reste encore les 2 dernières qui me bloquent.

1)C=x carré + y carré - 4 = 0
D = mx + p
pr m=1, l'équation de D est y = x - 4
pr m=0.5, l'équation de D est y= 1/2x - 2
donc D à 2pts d'intersection avec C .

2) y=mx+p
on remplace x et y par 0 et 4.
0 = m4 + p donc p = - (4m)
ce qui revient à y = mx - (4m)
l'équation de D pm=1 est y= x - 4
l'équation de C est x carré + y carré - 4 =0
x carré + (x-4) carré - 4 = 0
2x carré - 8x + 12 = 0
a=2, b=-8, c=12
delta : b carré - 4ac = 64-96 = -32
delta < 0 dc pas de pts d'intersection entre c et d pr m=1.

3) pr m=0.5, y = 1/2x -2
x carré + y carré -4=0, y= -x+2
5/4x -2x=0
a=5/4, b=-2, c=0
delta = 4
dc 2solutions
x1 = 0
x2 = 8/5
x= 0 et x=8/5
y=2 et y=1/2*8/5-2= 1.2
A(0;2) B(1.6;0.4)
B(8/5;12/10 donc il y a 2 pts d'intersection pr m=0.5.

4) pr m quelconque :
x carré m carré + x carré - 8m carré x + 16 m carré - 4 =0
c et d : x carré + y carré - 4 =0
d = mx - (4m).
x carré + y carré - 4 = 0
y = mx - (4m)
x carré + [mx - (4m) ] carré - 4 = 0
x carré +[m carré x carré - 2mx X -(4m) + 16 m carré ] - 4 = 0
x carré (m carré + 1) - 8 m carré x + 16 m carré - 4 = 0.


ils restent 2 questions ou je n(y arrive pas.
merci d'avance pr votre aide.