Fonction exponentielle

par **lerockstar** » 13 Sep 2007, 20:25

bonjour à toutes et à tous

voici le probléme :

f(0) = 1 et f' = kf ou k différent de 0

1) en utilisant un raisonnement par récurrence montrer que pour tout réel x et pour tout entier naturel on a f(nx) = (f(x))^n

2) en déduire que pour tout entier naturel f (-nx) = (f(x))^-n

3) on pose f(1) =a ( a est nécessairement un réel strictement positif )
a) en déduire que pour tout entier naturel m f(m) = a^m
b) soit r un nombre rationnel il existe donc deux entier ralatif p et q ,q étant non nul tels que r = p/q en écrivant qr=p montrer que f(r) = a^r
on admet finalement que pour tout réel x f(x) = a^x

j'aimerai avoir quelques indices pour pouvoir commencer ou meme la solution car la je pige vraiment mais alors vraiment pas et comme toujours merci d'avance

par **lapras** » 13 Sep 2007, 20:29

Bonsoir,
ai je le droit de me servir de la fonction exponnetielle ?

par **lerockstar** » 13 Sep 2007, 20:32

je pense pas puisque que c une activité qui introduit la fonction exp je sais juste que f'=f ect... mais on n'est pas censé utilisé on a vu f(x+y) = f(x)*f(y) merci de ta réponse

par **lapras** » 13 Sep 2007, 20:35

Ai je le droit d'utiliser f(x+y) = f(x)*f(y) ?

par **lerockstar** » 13 Sep 2007, 20:36

oui tu as le droit !!

par **lapras** » 13 Sep 2007, 20:44

Lol bah alors c'est trivial
Moi je te proposerai de démontrer que f(x+y) = f(x)*f(y)
mais bon, comme tu veux...
f(x+x) = f(2x) = f(x)²
f(3x) = f(2x+x) = f(2x) *f(x) = f(x)^2 * f(x) = f(x)^3
...¨
Ca marche pour n=2, n= 3, n = 1...
Récurrence, blablabla
rang n+1 :
f(nx+x) = f(nx)*f(x) = f(x)^n * f(x) = f(x)^(n+1)

CQFD
Mais avec cette propriété c'est pâs interessant

Preuve :
soit G(x) = f(x+y)/f(x)
G'(x) = (f'(x+y)*f(x) - f(x+y)*f'(x))/f(x)² = (k*f(x+y)*f(x)-f(x+y)*k*f(x))/f(x)² = 0
donc G est une fonction constante
et
G(0) = f(y)/1 = f(y)
donc
G(x) = f(y)
donc
f(x+y)/f(x) = f(y)

f(x+y) = f(x) * f(y)

CQFD

par **lerockstar** » 13 Sep 2007, 20:52

merci pour ta réponse

désolé de te dire que c'est pas la réponse au probléme ! mais merci quand meme!

par **lapras** » 13 Sep 2007, 20:56

j'ai tout de même répondu a la premiere question
Pour la 2 c'est trivial
pour la 3 avec m un entier naturel :
f(m) = f(1*m) = f(1)^m = a^m

par **lerockstar** » 13 Sep 2007, 20:59

excuse moi mais que signifie trivial ?????

par **lapras** » 13 Sep 2007, 21:03

Je crois que ca veut dire qu'on peut le démontrer tres rapidement, que la démonstration est pas importante, que c'est facile quoi :id:

par **lerockstar** » 13 Sep 2007, 21:05

mince je vois pas comment faire

par **lapras** » 13 Sep 2007, 21:06

Bah pose N = -n

Fonction exponentielle

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