TS - raisonnement par disjonction

[lord willard]

Bonjour, alors je debarque en spé maths avec un nouveau prof qui connait tous les autres élèves sauf moi quasiment... et l'autre jour en fin de cours ils commence à faire ce qu'il appelle un raisonnement par disjonction de cas (aucune idée de ce que c'est donc je recopie betement :hein: )

La question de l'exo: "Trouver n tel que n^3 ait 3 comme reste modulo 4."

Ensuite il met, 1er cas: "n a pour reste 2 modulo 4."

"alors n=4q + 2"
"alors n^3 = (4q + 2)^3"

Et là je sais pas du tout ce qu'il faut faire pour continuer... mais alors vraiment aucune idée. Si quelqu'un pouvait m'expliquer rapidement ce qu'est un raisonnement par disjonction et comment repondre à la question posée, merci d'avance :)

[Nightmare]

Salut :happy3:

Un raisonnement par disjonction des cas c'est très intuitif.

Quand on veut montrer qu'une propriété est vraie pour tout entier naturel n par exemple, il est souvent plus simplement de distinguer plusieurs cas possibles de n.

Je m'explique :

On veut montrer que pour tout entier n, n(n+1) est pair.

Quelle est l'idée? On considère deux cas : le cas où n est pair, le cas où n est impair.
On voit que dans les deux cas ça marche. Donc si ça marche pour n pair et pour n impair, comme il n'y a pas d'autre cas (un entier est soit pair, soit impair), ça marche donc pour tout n.

On veut montrer que n(n+1)(n+2) est divisible par 3.

La même idée, on considère cette fois-ci 3 cas :
Le cas où n est divisible par 3, le cas où n a pour reste 1 dans la division par 3 et le cas où n a pour reste 2 dans la division par 3. Ca marche pour les 3 et il n'y a pas d'autres cas, donc ça marche pour tout n.

Un dernier exemple :

On veut montrer une propriété sur un réel x par exemple, on peut être amener à distinguer le cas où x est rationnel et le cas où x est irrationnel.

Tu saisis?

[lord willard]

Ok je saisis le concept... mais je vois mal comment adapter ça à mon problème... peut etre un manque d'habitude aussi. Mais en gros c'est on teste les différentes possibilités pour prouver que ça marche, c'est ça ?

[Nightmare]

C'est ça.

Ici le prof a commencé par "n a pour reste 2 modulo 4"

Il faut donc vérifier que ça marche aussi pour n congru à 0 modulo 4, n congru à 1 modulo 4 et n congru à 3 modulo 4.

Si ça marche dans les 4 cas, alors ça marche pour tout n (puisqu'il n'y a pas d'autres cas !)

[lord willard]

Ok merci je pense avoir pigé :)

[lord willard]

Euh, si ça marche pour n congru à 0;1;2 mais pas 3, je suis sensé dire quoi ?

[Nightmare]

Ben que ça marche pour tout n sauf ceux qui ont pour reste 3 dans la division euclidienne par 4 !

[lord willard]

Ah mais justement c'est ce qu'on me demandait dans la question ^^ donc il n'y a aucun n qui une fois au cube a 3 comme reste dans la division par 4... merci.