Intégrales...!

[nusss]

OK...voici un exercice challenge que mon prof m'a donné, mais j'ai un peu de la peine, voyons si vous pouvez m'aider, cela m'aiderait beaucoup, merci d'avance =)

On désire calculer exactement l'aire de la surface du plan limité par la courbe y=2x²+1 , l'axe Ox et les droites verticales x=0 et x=1

a)évaluer l'aire de cette surface

b)calculer S4, la somme majorante en partageant l'intervalle [0;1] en 4 sous-intervalles de même longueur.

c)Calculez Sn en fonction de n

NB: on doit obtenir une expression algebrique de que l'on simplifie au maximum

d)Calculez la valeur limite de Sn, lorsque n tend vers l'infini

e)comparer les resultats trouvés aux points a), b) et d) et commentez

[Hilbert67]

1. Fais un dessin :)
2. quelles sont les abscisses des points partageant le segment en quatre parties égales ? Et les ordonnées de ces abscisses sur la courbe ? D'où les aires des rectangles...

3. Sn n'est pas définit...

[jlp65]

S4 = 0.25 * (2 * 0.25 * 0.25 + 1 + 2 * 0.5 * 0.5 + 1 + 2 * 0.75 * 0.75 + 1 + 2 * 1 * 1 + 1) = 31/16 (sauf erreur de calcul !)

Sn =1/n * [ 2*1/n*1/n+1 + 2*2/n*2/n+1 + ... +2*1*1+1 ]
=1/n * [ 2* {1/n*1/n+2/n*2/n .... +1*1} +n ]
= 2/n * 1/n*1/n*(1+4+9+...+n*n) + 1
= 2/(n*n*n)* n(n+1)(2n+1)/6 +1
= 1/3 * [ 2+3/n+1/(n*n) ] +1

Lim Sn = 1/3 *2+1 = 5/3

(sauf erreur de calcul !)