Topologie

[minidiane]

Bonjour je suis bloqué pour un exercice je ne vois pas du tout comment faire j'aimerai quelques indications si c'est possible, merci.
Voici l'exercice en question:

Soit n appartenant à N* et notons I_n={1,2,3,...,n}. On note I_0= ensemble vide.

Démontrer que:

1a) Il existe une injection de I_m dans I_n ssi n <= m.
1b) Il existe une surjection de I_m dans I_n ssi m <= n.
1c) Il existe une bijection de I_m dans I_n ssi n=m.

Je n'ai pas encore eu de cours seulement un td et j'ai pas trop compris.

[fahr451]

bonsoir

sait -on que car In = n ?

[minidiane]

J'ai pas compris la question

[fahr451]

en fait y a deux approches soit on "fait comme si" on ne connaissait rien sur le cardinal et alors les démonstrations sont lourdes (récurrence etc)

soit "on fait comme si" on connaissait tout et ça devient une "évidence" plus d'éléments, moins déléments

j'opterais pour la seconde approche mais tout dépend de ce qui est demandé

[minidiane]

Ben en fait le prof à parler de récurrence donc je pense qu'il faut utiliser la première par contre je ne vois pas la récurrence

[Yipee]

La partie c permet de définir le cardinal d'un ensembel fini. On ne suppose donc pas que l'on sait que cardinal de In est n.

Quelques remarques :

1 - je pense que tes inégalités sont à l'envers
2 - cela n'a pas de rapport avec la topologie

[fahr451]

ben pourtant si on le savait déjà on aurait plus vite fini cf post précédent

[Yipee]

Maintenant pour le a. Un sens est évident, en effet si m est inférieur à n il y a une injection de Im dans In.

Pour la réciproque il faut faire une récurrence. Le problème est qu'il y a deux entiers. Alors récurrence sur n ou m ?

On pose H(m) l'assertion "pour tout entier n, s'il existe une injection de Im dans In alors m est inférieur à n". Maintenant, on montre par récurrence que H(m) est vrai pour tout m.

[Yipee]

ben pourtant si on le savait déjà on aurait plus vite fini cf post précédent

Oui mais on ne peut pas le savoir car, cela sert à définir la notion de "nombre d'éléments".

[fahr451]

hum hum

joke

[minidiane]

mes inégalités sont correcte d'après ma feuille d'exo c'est n<=m

[Yipee]

mes inégalités sont correcte d'après ma feuille d'exo c'est n<=m

Alors tu as inversé le sens des questions où ton prof s'est trompé (cela arrive avec le copier-coller).

L'intuition à avoir est qu'il existe une injection de A dans B si A a "moins d'éléments" que B. A l'inverse il existe une surjection de A dans B si A a "plus d'éléments" que B.

[minidiane]

ok merci je crois que je commence à comprendre

[Lierre Aeripz]

Au fait, pourquoi avoir appelé ce topic topologie ?

[minidiane]

Parce que notre cours s'appelle topologie et que c'est un exercice du td de topologie mais c'est vrai que c'est pas vraiment de la topologie ce que l'on fait pour l'instant

[minidiane]

Bonjour je n'arrive toujours pas à trouver la récurrence je ne vois pas comment faire :mur:

[minidiane]

J'ai essayer une résurrence mais je ne suis pas sur la voici:

récurrence sur n:

pour n=1 il existe une injection Im -> I1
m=1
m=0
en utilisant la contraposé de l'injection:
m>n f(1)=f(2)=1
m>1 I2->I1
m=2 donc il n'existe pas d'injection de Im dans In
Donc il existe une injection de Im dans In implique m<=n
au rang n+1
On suppose qu'il existe une injection de Im -> In+1 implique m<=n+1
Par disjonction des cas:
- pas d'antécédant f/Im->In, m<=n, m<=n+1
- antécédant de n+1=m f(m)=n+1
injection f/Im-1->In, m-1<=n, m<=n+1
- f(a)=n+1 différent de m
Posons f' tq f'(k)=f(k) si k différent de a et f'(k)=f(m) si k=a
il existe une injection Im-1->In
m-1<=n
m<=n+1
f(m)<=nvoilà dites moi ce que vous en pensez
merci