[TS spe math]Premier DM,divisibilité sur Z

[Jo2500]

Bonjour!!!
Difficile de se remettre aux mathématiques après 2mois de vacances et le bachotage de français...
Je suis frustré devant mon premier DM de math spé...
Incapable de répondre à aucune des questions, on a vu aucune méthodologie en cours et le livre ne donne pas d'indications suffisantes pour répondre...

Bon voila simplement la première question du premier exercice(au risque de passer pour un idiot):

Soit n un entier naturel,
Montrer que 2^3n-1 est un multiple de 7.
=>J'ai donc cherché un moyen de prouver que 2^(3n)-1=7k (k étant une constante réelle), grâce au bouquin j'ai pensé à la factorisation mais jcomprend pas comment cela fonctione: (8-1)(????)=7k

Question suivante:
En déduire que 2^(3n+1)-2 est également un multiple de 7.

Merci d'avance!

[lapras]

salut,
c'est simple,
2^(3n) - 1 = (2^3)^n-1
or 2^3 congrue à 1 mod 7 donc 2^(3n) congrue à 1^n = 1 mod 7
or -1 congrue à -1 mod 7 donc (2^3)^n-1 congrue à 1-1 mod 7 = 0
CQFD
Fais le même résonnement pour la question 2!

[cesar]

Question suivante:
En déduire que 2^(3n+1)-2 est également un multiple de 7.

Merci d'avance!

si 2^3n-1 est un multiple de 7, alors 2.(2^3n-1) = 2^(3n+1)-2 l'est aussi, c'est immediat.

[cesar]

je crois que lapras et moi avons repondu en meme temps...

[Clembou]

salut,
c'est simple,
2^(3n) - 1 = (2^3)^n-1
or 2^3 congrue à 1 mod 7 donc 2^(3n) congrue à 1^n = 1 mod 7
or -1 congrue à -1 mod 7 donc (2^3)^n-1 congrue à 1-1 mod 7 = 0
CQFD
Fais le même résonnement pour la question 2!

Début terminale, je ne pense pas qu'on apprend tout de suite les congurences :triste:

[Jo2500]

En effet, mais on est censé les voirs en math spé...
Le problème c'est qu'on a pas encore travaillé les congruences...
Alors je ne sais pas si il(mon cher professeur) considère qu'on doit chercher cette technique par nous même (ça m'étonnerai) ou trouver une autre solution, à base de factorisation par exemple?

(Même si je comprend bien le principe des congruences et modulo)

[Jo2500]

UP je n'ai toujours pas eu de réponse!!

[J-R]

c'est sur que les congruences s'adaptent parfaitement à ce genre d'exo mais comme le demandeur ne l'a pas vu il peut songer à un raisonneent par récurrence à moins qu'il ne sache pas comment faire ?

a+